三角函数经典练习题1．在直角三角形中，两锐角为A 、B ，则B A sin sin （B ） A ．有最大值21和最小值0 B ．有最大值21，但无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1，但无最小值提示：A A A B A 2sin 21cos sin sin sin ==，注意到角度的取值范围，所以选B ． 2．已知集合{|cos sin 02}E θθθθπ=<≤≤，，}sin tan |{θθθ<=F ，则F E I 是区间（A ） A ．)2(ππ，B ．)434(ππ，C ．)23(ππ，D ．)4543(ππ，提示：即}sin tan |{}454|{θθθπθπθ<<<I ，所以选A ． 3．函数22()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（B ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数 提示：2222()sin ()sin ()cos ()sin ()cos(2)44442f x x x x x x πππππ=+--=---=-=sin 2x ，所以选B ． 4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程为（B ）A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．π=x提示：对应的x 的值应该使得函数取得最值，所以选B ．5．函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域为（B ）A ．)656(ππ，B ．5[0)6π，C ．)323(ππ，D ．)326(ππ，提示：sin (1]2x ∈-，再由arccos (1]2u u ∈-，得，所以选B ． 6．下列函数中以2π为周期的函数是（D ） A ．x x y 4cos 2sin += B ．x x y 4cos 2sin = C ．x x y 2cos 2sin += D ．x x y 2cos 2sin =提示：D 中x x x y 4sin 212cos 2sin ==，且用定义可以检验得其余都不满足，所以选D ． 7．在直角坐标系中，曲线C 的方程是x y cos =，将曲线C 沿向量)22(ππ，-=→a 平移，则平移后的曲线方程是（B ） A ．2sin //π+=x y B ．2sin //π+-=x y C ．2sin //π-=x y D ．2sin //π--=x y提示：2/π-=x x ，2/π+=y y ，解出y x 、代入已知式化简得，所以选B ．8．函数)43cos(3)43sin(4ππ+++=x x y 的最小正周期是（C ）A ．π6B ．π2C ．32π D ．3π提示：)43sin(5ϕπ++=x y ，所以选C ．9．已知θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，那么=θ2sin （A ） A ．322 B ．322-C ．32 D ．32-提示：θ2在第一．二象限，∴02sin >θ，由95cos sin 2)cos (sin 22222=-+θθθθ，解得982sin 2=θ，取算术根即得，所以选A ． 10．使得33)32tan(=+πx 成立，且∈x )20[π，的x 个数是（B ） A ．5B ．4C ．3D ．2提示：函数tan(2)3y x π=+的周期为2π，因此在4个周期长的区间里使33)32tan(=+πx 的x 必有4个，所以选B ．11．若α是第三象限的角，且2524sin -=α，则=2tan α（D ）A ．34B ．43 C ．43-D ．34-提示：257cos -=α，ααααααcos 1sin 2cos 22cos2sin22tan 2+==，代入求得，所以选D ．12．当22ππ≤≤-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（D ）A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是21-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1-提示：)3sin(2)(π+=x x f ，且22ππ≤≤-x ，所以选D ．13．函数x x y 2cos )23sin(+-=π的最小正周期是（B ）A ．2π B ．πC ．π2D ．π4提示：用诱导公式．和．差角公式得12cos)122cos(22cos )62cos(πππ+=++=x x x y ，所以选B ．14．已知点P （αααtan cos sin ，-）在第一象限，则在]20[π，内α的取值范围是（B ） A )45()432(ππππ，，Y B ．)45()24(ππππ，，Y C ．)2345()432(ππππ，，Y D ．)43()24(ππππ，，Y提示：0tan cos sin >>ααα，，且在指定范围内，利用三角函数线分析，选B ．15．若)22(cot tan sin παπααα<<->>，则∈α（B ）A ．)42(ππ--，B ．)04(，π-C ．)40(π，D ．)24(ππ，提示：即在)02(，π-内ααcot tan >，所以选B ．16．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（D ）A ．若βα、是第一象限的角，则βαcos cos >B ．若βα、是第二象限的角，则βαtan tan >C ．若βα、是第三象限的角，则βαcos cos >D ．若βα、是第四象限的角，则βαtan tan >提示：当βα、是第四象限的角时，由已知可设112απα-=k ，212k βπβ=-，其中1102παβ<<<，由诱导公式和正切函数的单调性知11tan tan αβ>，即βαtan tan >，所以选D ．17．函数xx y cos sin 21++=的最大值是（B ）A ．122- B ．122+ C ．221-D ．221--提示：)4sin(221π++=x y ，所以选B ．18．设βα、是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（D ）A 1tan tan <βαB ．2sin sin <+βαC ．1cos cos >+βαD ．2tan )tan(21βαβα+<+提示：20πβα<+<，∴12tan 0<+<βα，=+-+2tan 2)tan(βαβα02tan 12tan 2tan 2)12tan 11(2tan 2222>+-+⨯+=-+-+βαβαβαβαβα，所以选D ． 19．振动量)32sin(3π+=x y 的周期．振幅依次是（A ）A ．34，πB ．34-，πC ．3，πD ．3-，π提示：由概念知振幅为3，由212π得周期，所以选A ．20．若A ．B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P )cos sin sin (cos A B A B --，在（B ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限提示：2π>+B A ，∴022>->>A B ππ，∴A A B cos )2sin(sin =->π，同理B A cos sin >，所以选B ． 21．若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（B ）A ．b a >B ．b a <C ．1<abD ．1>ab提示：)4sin(2πα+=a ，)4sin(2πβ+=b ，由正弦函数的单调性得，所以选B ．22．下列命题中正确的命题是（D ）A ．若点P )0)(2(≠a a a ，为角α终边上的一点，则552sin =αB ．同时满足1sin cos 2αα==， C ．当1||<a 时，)tan(arcsin a 的值恒正 D ．满足条件3)3tan(=+πx 的角的集合是∈=k k x x ，π|{Z }提示：由3)3tan(=+πx ，得33πππ+=+k x ，所以选D ．23．若0cos sin >θθ，则θ在（B ）A ．第一．二象限B ．第一．三象限C ．第一．四象限D ．第二．四象限提示：θsin 与θcos 同号，所以选B ．24．在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是（C ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形提示：∵π=++C B A ，∴)sin(sin cos 2B A A B +=，展开化简得0)sin(=-B A ，所以选C ．25．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=提示：当0=t 时，有12y =，3=t 时，15≈y ，这只有A 适合，故选A ．26．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+==4tan ,2cos ,2sin πααα则b a 的值为（D ）A ．b a b a +-+11＋ B ．11-++-b a b a C ．ba +1 D ．a b-1提示：已知条件中的角度是欲求式中角度的2倍，能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考点：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 24cos 4sin 24cos 4sin 4tan 2παπαπαπαπαπα=ααπαπα2sin 12cos 42cos 142sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.1a b -=27．00165cos 15sin 的值等于（B ） A ．41 B ．41-C ．21D ．21-提示：即00030sin 21)15cos (15sin -=-．28．下列等式正确的是（D ）A ．ααsin )180sin(-=+-oB ．ααπ22sin )(sin -=+C ．)cos()cos(βαβα--=+-D ．απαtan )tan(=-提示：)tan()tan(αππα--=-．29．若ΔABC 内角满足0sin tan <-A A ，0cos sin >+A A ，则角A 的取值范围是（C ） A ．)40(π，B ．)24(ππ，C ．)432(ππ，D ．)43(ππ，提示：已知0)cos 1(tan <-A A ，∴0tan <A ，又0)4sin(2>+πA ，综合得．30．函数)3cos(3)(θ-=x x f 是奇函数，则θ的一个值是（D ） A ．πB ．6π C ．3π D ．2π-提示：x x 3sin 3))2(3cos(3-=--π．31．函数x x y tan cos =)(ππ<<-x 的大致图像是（C ）提示：02≤<-x π时，x y sin -=，20π<<x 时，x y sin =．32．给出下列三角函数：①)34sin(ππ+n ； ②)62cos(ππ+n ；③)32sin(ππ+n ； ④]6)12cos[(ππ-+n ；⑤)](3)12sin[(Z n n ∈-+ππ；其中函数值为3sin π的是（C ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于n 取一系列特殊值检验．33．若θθπ,53)sin(-=+是第二象限角，φφπ,552)2sin(-=+是第三象限的角，则)cos(φθ-的值是（B ） A ．55- B ．55 C ．25511 D ．5提示：即53sin =θ，552cos -=φ，求得54cos -=θ，55sin -=φ．34．设一个半径为10的水轮，水轮的圆心距水面为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y 与时间x （秒）之间满足函数关系7)sin(++=ϕωx A y ，若0>ω，则其中的（A ） A ．10152==A ，πω B ．10215==A ，πω C ．171522==A ，ωD ．17152==A ，πω提示：A=10，转动的频率为151=f （圈/秒），∴周期151==f T ，而ωπ2=T ，故得．35．函数)0)(cos()sin()(>++=ωφωφωx x x f 以2为最小正周期，且能在x=2时取最大值，则φ的一个值是（A ） A ．43π-B ．45π-C ．47π D ．2π提示：)22sin(21)(φω+=x x f ，且222=ωπ，∴2πω=，反代即得． 36．函数22sin =x 是1tan =x 成立的（D ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件提示：注意角的取值范围变化．37．函数25cos 32cos 21+-=x x y 的最小值为（B ） A ．2B ．0C ．41D ．41-提示：25cos 3)1cos 2(212+--=x x y ，∴2cos 3cos 2+-=x x y ，且1|cos |≤x ． 38．将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图像上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的解析式为（B ）A ．)1252sin(π+=x y B ．)1252sin(π+=x y C ．)122sin(π-=x y D ．)2452sin(π+=x y提示：左移得)64sin(ππ++=x y ，即)125sin(π+=x y ，再将x 变为2x．39．函数44()tan (cos sin )22x xf x x =-的最小正周期是（A ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π提示：()tan cos sin (,)2f x x x x x k k Z ππ==≠+∈，选A ．40．已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．[答案]31-提示：)](sin[)2sin(βααβα++=+．41．设x x t sin cos +=，若0cos sin 33<+x x ，则实数t 的取值范围是___________．[答案]02<≤-t 提示：对已知的第一式平方，变形得21cos sin 2-=t x x ，且22≤≤-t ，而第二式即0)cos sin 1)(cos (sin <-+x x x x ，∴0)211(2<--t t ，即0)3(2>-t t ，∴03<<-t ，或3>t ；综合得02<≤-t ．42．函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为 __________．[答案]π提示：)32cos(2sin 232cos 212cos 2sin 232cos 21π-=+=-+=x x x x x x y ． 43．关于三角函数的图像，有下列命题：①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称； ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．[答案]②④ 提示：逐一作图判断． 44．已知一扇形的中心角为α，其所在的圆的半径为R ．（1）若060α=，R=10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为定值p ，当α为多少弧度时，该扇形有最大的面积？这一最大面积是多少？[解析]计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式(2)C r π=和圆的面积公式21(2)2S r π=，对于一般扇形，作相应的计算只需将两个核心公式中的2π换之以扇形的圆心角的弧度数α即可：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则∵0603πα==，R=10，∴10()3l cm π=，211011010sin 2323S S S ππ∆=-=⨯⨯-⨯弓扇250()3cm π=；（2）∵扇形周长22p R l R R α=+=+，∴2pR α=+， ∴222111()422224p p S R ααααα===⨯+++扇，由44αα+≥，得216p S ≤扇，∴当且仅当4αα=，即2α=时，扇形取得最大面积216p .45．已知)35tan(1)35tan(1)]104tan(31[sin )(000---++-+=x x x x x f ，求)50(0f ．[解答]015tan 115tan 1)190tan 31(50sin )50(-+++=f000015tan 45tan 115tan 45tan )10tan 60tan 1(50sin -+++=0000000060tan )10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos (50sin ++= =31310cos 50cos 50sin 2310cos 2150cos 50sin 000000+=+=+． 46．已知函数)0(3cos >-=b x b a y 的最大值为23，最小值为21-，求函数bx a y 3sin 4-=的单调区间、最大值和最小正周期．[解答]由已知条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+；，2123b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==；，121b a ∴x y 3sin 2-=，其最大值为2，最小正周期为32π， 在区间[326326ππππk k ++-，]（Z k ∈）上是增函数，在区间[322326ππππk k ++，]（Z k ∈）上是减函数． 47．已知,32tan ,31tan -==βα求βαβαβα22cos sin )sin()sin(-+的值． [解答]利用和角、差角公式展开，并借助分式的性质，分子分母同除以βα22cos cos 可得原式＝αβαβαβαβα2222222tan tan tan cos sin )sin (cos )cos sin -=-（＝1)2(1)3132(1)tan tan (1222-=--=--=-αβ．48．已知βαtan ,tan 是方程0342=--mx x 的两个根． （1）证明对于任意实数m ，都有βαβαcos cos 4)cos(=+； （2）若32)tan(2-=+m βα，求实数m 的值． [解答]（1）3tan tan ,4tan tan -==+βαβαm Θ，3cos sin cos sin ,4cos sin cos sin -=⨯=+∴ββααββααm ， 即βαβαβααββαcos cos 3sin sin ,4cos cos cos sin cos sin -==+m ，βαβαβαβαβαcos cos 4sin sin cos cos ,cos cos 4)sin(=-=+m ，即βαβαcos cos 4)cos(=+；（2）由（1）可得m =+)tan(βα，∴m m =-322，即0322=--m m ，∴1-=m ，或23=m ． 49．已知R a a x x x f ∈++=.(2sin 3cos 2)(2为常数） （1）若，R x ∈求)(x f 的单调递增区间；（2）若]20[π，∈x 时，)(x f 最大值为4，求a 的值．[解答]（1）1)62sin(22sin 32cos 1)(+++=+++=a x a x x x f π，当时，226222πππππ+≤+≤-k x k 为单调增函数)(x f ， 即当)(63x f k x k 时，ππππ+≤≤-为单调增函数， 同理，当为单调减函数时，＋)(326x f k x k ππππ+≤≤；（2）当1,412)(6=∴=++=a a x f x 有最大值时，π．50．如图扇形AOB 的半径为1，中心角为060，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值．[解答]设∠)60,0((,00∈=x x AOP )， 则060cot sin cos ,sin x x RS x PS -==，x x x x x S 20sin 332sin 21sin )60cot sin (cos -=-=∴ 63)2sin(3322cos 1332sin 21-+=--=φx x x ，其中33tan =φ，所以当,9020=+φx 即030=x 时S 有最大值6333-． 51．判定函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x y sin sin 1log 221的奇偶性，并求函数的最值．[解析] 判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化，为考查)()(x f x f -±是否为0，甚至也可考查)(x f 与)(x f -的比值，观察本题的特点是对数函数，不妨先考查)()(x f x f +-,求最值时若注意到sin x 的有界性以及函数的单调性，则最值易求：Θ函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x f sin sin 1log )(221的定义域为R ,又⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-x x x f x f sinsin 1log )()(221＋.01log sinsin 1log 21221==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .)(),()(为奇函数即函数x f x f x f -=-∴令],1,1[sin -∈=x t上是单调递减函数，在是单调递减函数]1,1[1,log 221--+==t t u u y Θ ⎪⎭⎫⎝⎛-+=t t y 2211log 则在[-1,1]上是增函数．()()12log 12log 1221max +=-==∴y t 时，当,()()12log 12log 1221min -=+=-=y t 时，当．[点评] （1）函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件；（2）要掌握利用函数单调性求函数最值的方法． 52．已知函数()().,0,2sin225sin21πθθθθ∈+-=f （1）将()θf 表示为θcos 的多项式；（2）求曲线k k y +=θcos 与()θf y =至少有一个公共点的实数k 的取值．（注)sin 4sin 33sin :3θθθ-=．[解析] 这是一道带指令性的三角形问题，欲()θf 为关于θcos 的多项式，必须考虑去分母，这就需要在做出一定变换之后，能够约分，注意到,2225,3225,22θθθθθθθθθ=-=+=+有下列解法：（1）()θθθθθθθθθθsin 225sin 225sin 21212cos 2sin 22cos 25sin21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-=f ()θθθsin 2sin 3sin 2121++-θθθθθθθcos sin 22321sin 2cos sin 2sin 4sin 32123+-+-=+-+-=• ();1cos cos 2cos cos 12122-+=+--=θθθθ（2）令()()1,1,,0,cos -∈∈=t t πθθ .122-+=+t t k kt Θ ()()t k t k t ,01122=+--+∴＝-1（舍），或.21+=k t 则－1＜21+k ＜1，－3＜k ＜1．[点评]第（1）问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做；而第（2）问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解．53．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为()f θ．求：（1）θ的取值范围； （2）()f θ的解析式； （3）()f θ的值域．[解答]（1）BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角的范围为[0,]2π．（2）连BD ，则6DBC π∠=，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt BDE ∆中，6DBE πθ∠=+，2DB =，()2sin()(0)62f ππθθθ∴=+≤≤．（3）()2sin()(0)62f ππθθθ=+≤≤，2663πππθ≤+≤Q，1sin()126πθ∴≤+≤，即()f θ的值域为[1,2]．54．已知奇函数()f x 的定义域为实数集R ，且()f x 在[)0,+∞上是增函数．是否存在这样的实数m ，使()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，求出适合条件的实数m 的值或范围；若不存在，说明理由． [解答]()f x Q 为奇函数，()00f ∴=．()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->Q ，()()cos2342cos f f m m θθ∴->--，即()()cos232cos 4f f m m θθ->-． ()f x Q 在[)0,+∞上是增函数，且()f x 为奇函数， ()f x ∴在(),-∞+∞上也为增函数．cos232cos 4m m θθ∴->-，即22cos 42cos 4m m θθ->-，即2cos cos 220m m θθ-+->．[]0,,cos 0,12πθθ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦Q ．令[]cos ,0,1t t θ=∈，则满足条件的m 应该使不等式2220t mt m -+->对任意的[]0,1t ∈均成立．设()222222224m mg t t mt m t m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭，则()0,200,m g ⎧<⎪⎨⎪>⎩或01,20,2m m g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()1,210,m g ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解之得42m -<≤，或2m >，故满足条件的m存在，取值范围是()4-+∞．55．在∆ABC 中，0,,,CB AC a b c =u u u r u u u rg 为角A,B,C 所对的三条边．（1）求t=sinA+sinB 时，t 的取值范围；（2）化简()()()222a b c b c a c a b abc+++++（用（1）中t 表示）．[解答]（1）0,,CB AC CB AC ABC =∴⊥∴∆u u u r u u u r u u u r u u u r Q g 为直角三角形，2A B π∴∠+∠=,又sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,30,,124444A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<∴<+≤ ⎪⎝⎭Q ．（2）cos ,sin ,b c A a c A ==Q()()()222a b c b c a c a b abc+++++∴()()()222223sin cos cos sin sin cos sin cos c A c A c c A c A c c c A c A c A A+++++=2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos A A A A A A A A A A+++++=1sin cos sin cos sin cos A AA A A A++=++(22122,1112t t t t t t t t t +-+=+=+=∈--- ． 56．等比数列{}n a 中，23sin cos ,1sin 2a a ααα=+=+，其中2παπ<<．（1）问：132sin 2cos 422αα-+是数列{}n a 的第几项？ （2）若()4tan 3πα-=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．[解答]（1）设数列{}n a 的公比是q ，则有()2sin cos 1sin 2sin cos sin cos sin cos q ααααααααα++===+++所以211a a q==， 从而通项()1sin cos n n a αα-=+．又()()21312sin 2cos44sin 2cos431sin 2222ααααα-+=-+=+()45sin cos a αα=+=， 故132sin 2cos 422αα-+是数列{}n a 的第5项．（2）()44tan ,tan 33παα-=∴=-Q ，又2παπ<<，可得43sin ,cos 55αα==-，于是1sin cos 5q αα=+=，即115n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1111511155445n n n S --⎛⎫⎛⎫∴=+++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ．57．已知函数sin cos y a x b x c =++的图像上有一个最低点11,16π⎛⎫⎪⎝⎭，如果图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移1个单位可得()y f x =的图像，又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调减区间．[解答]()sin cos .y a x b x c x c ϕ=++=++（其中ϕ满足tan ,abϕϕ=与点(),a b 同象限），由于11,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭是图像上最低点，所以1172,2.,6231. 1.k k k Z c c ππϕπϕππ⎧⎧+=-=-∈⎪⎪⇒⎨⎪==-⎩所以()()71sin 21sin 33y c x k c c x c πππ⎛⎫⎛⎫=-+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移1个单位可得()()()21sin 11sin ,63333y c x c c x c T πππππ⎡⎤=-+-+=-+∴==⎢⎥⎣⎦．由于()3f x =的所有正根依次成等差数列，即曲线()y f x =与直线3y =的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()f x 的最高点或最低点，要么过曲线的拐点，又11,16π⎛⎫⎪⎝⎭是图像上的最低点，故3y =与曲线()y f x =在最高点相切．当sin13x π=时，()213f x c =-=，所以2c =，此时周期应为公差3，这与上面已知周期6矛盾，故舍去．若过曲线的拐点，当sin 03x π=时，()3f x c ==，此时周期6恰为公差3的2倍，符合题意．所以()2sin33f x x π=+，由322,232k x k k Z πππππ+≤≤+∈得396622k x k +≤≤+，即函数()y f x =的减区间为396,6,22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．58．设函数=)(x f )4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ，求函数)(x f 的最大值和最小正周期．[解析]虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路.同样我们也不能预测化简的具体结果，但总的目标应该是相对清楚的，那就是设法不断地“化繁为简”.从函数解析式的结构看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次数，减少所含的三角函数的名数”．原式)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x ---=-⋅--+-=πππππ x x x 2cos 21)22sin(22cos 2=-=π， 即最大值为21，最小正周期为π． 59．证明：x 2tan xx x 4cos 1)4cos 3(2cot 2-+=+.[解析]观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线，也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路.方法一：左边xx x x x x x x 22442222cos sin cos sin sin cos cos sin +=+=x xx x x 2sin 41cos sin 2)cos (sin 222222-+=)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 211222x x x x --=-= x x x x 4cos 12cos 444cos 12sin 4822-+=--==-+=-++=xx x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)4cos 1(24右边；方法二：右边xx x x 2sin 2)2cos 22(22sin 2)4cos 12(2222+=++=xx x x x x x x x 2222222222cos sin 2)sin (cos )cos (sin cos sin 4)2cos 1(2--+=+==+=+=x x xx x x 222244cot tan cos sin 2)cos (sin 2左边． 60．已知函数2222)2tan 1(8sin )2tan 1(2tan 44sin 3sin 2)(x x x x x x x f +--+=，求该函数的定义域、最小正周期和最大、最小值．[解答]xx xx x x x f 2sec 8sin 4cos 2tan 44sin 34cos 1)(2-+-=)64sin(24sin 2cos 2sin 2)64sin(21ππ-=--+=x x x x x ，由sin80x ≠和tan2x 有意义知8()x k k Z π≠∈且2()2x l l Z ππ≠+∈，即函数的定义域为{|,}8k x R x k Z π∈≠∈，且)(x f 的最小正周期是2π，最大值是2，最小值是2-． 61．设0≥a ，π20<≤x ，已知函数b x a x x f +-=sin cos )(2的最小值和最大值分别是4-和0，求实数b a 、的值．[解析]这是一道三角函数最值问题的逆问题，可以按照求函数最值的思路求解，用b a 、表示出所求函数的最大值和最小值后，对照已知条件建立方程组求解.14)2(sin sin sin 1)(222++++-=+--=b a a x b x a x x f ,令x t sin =，则11≤≤-t ，且02≤-a，有14)2((22++++-=b a a t y ，10当021≤-≤-a，即20≤≤a 时，01422max =++==-=b a yy a t ，41min -=+-===b a y y t ， 此时解得2=a ，2-=b ；20当12-<-a，即2>a 时，01max =+==-=b a y y t ，41min -=+-===b a y y t ，此时的解应该舍去；∴2=a ，2-=b 即为所求.62．有一农民在自留地里建造了一个长10m ，深0.5m ，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽（如图所示）.已知该引水槽侧面材料每m 2造价40元，底面材料每m 2造价50元，顶盖材料每m 2造价10元.（1）把建造引水槽的费用y （元）表示为引水槽的侧面与地面所成角∠DAE θ=的函数；（2）引水槽的侧面与地面所成的角θ为多大时，其材料费最低？最低的材料费是多少（精确到0.01，且取732.13=）？（3）按照题设条件，在引水槽的深度和横截面积及所用的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与（2）中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用的材料费更省？省多少？[解析]利用角θ逐一表示出引水槽的底、侧、盖的面积，再乘以相应的单位费用数即能得到总费用y .（1）作AH ⊥CD 于H ，则AH 21=，且∠ADH θ=，设AB x =，由AD=BC=θsin 21，DH 2cot θ=，∴)(2141CD AB AH S +⋅==，即12cot 2=⨯++θx x ，∴1010402105010⨯+⨯⨯+⨯=CD AD AB y2cot 1100sin 14002cot 1500θθθ+++-=θθθθsin cos 2200300)sin 42cot 46(100-⨯+=+-=， 即所求函数为θθθsin cos 2200300)(-⨯+=f ；（2）令θθsin cos 2-=u ，则2cos sin =+θθu ，D CθE A B62题图∴2)sin(12=++ϕθu ，由正弦函数的有界性得212≥+u ，∴412≥+u ，故3≥u ，从而3200300min +=y ，此时1)sin(=+ϕθ，由623arccos1arccos2πϕ==+=u u ， 知∠EAD=3πθ=时，所用材料费最低，最低费用为4.646元；（3）若截面为正方形时，材料费7001002150021400)2121(1=⨯+⨯+⨯+=y 元， 两相比较知横截面为等腰梯形时所用材料费比横截面为正方形时所用的材料费要省53.6元.63．如图，ABCD 是一块边长为100m 正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90m 的扇形小山，P 是弧TS上的一点，其余部分都是平地.现有一开发商想有平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的面积的最大值和最小值. [解答]连结AP ，设∠PAB=θ，(0)2πθ<<，延长RP 交AB 于M ，则AM θcos 90=，MP θsin 90=，PQ=MB=AB-AM θcos 90100-=，PR=MR-MP θsin 90100-=，故矩形面积)cos 90100)(sin 90100()(θθθ--==f S θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=，令t =+θθcos sin ，由21≤<t ，故得950)910(281002+-=t S ， ∴当910=t 时，)(9502min m S =， 而当2=t 时，)(29000140502max m S -=．。