数学建模作业（三）第三章习题
2013/04/09
速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气的密度是ρ，用量纲分析法确定风车获得的功率p 与v ，s ，ρ的关系。

● 对于风车获得的功率p 与v ，s ，ρ的关系我们假设：
1.忽略其它因素对功率的影响
2.将其视为理想化模型
● 在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：
风车获得的功率p ，风速v ，迎风面积s ，空气密度ρ。

● 它们的量纲分别是
23[]p ML T -=,1[]v LT -=,23[],].[L L s M ρ-==
● 设1234=p v s ααααπρ，有
1234
1412341223123+2++2-3-3-[]()()()()MLT LT L ML M L T ααααααααααααπ---==
由[]1π=得到以下线性方程组
141234*********
αααααααα⎧+=⎪++-=⎨⎪--=⎩
不难验证，这个方程组的秩为3.
因此方程组的解空间是4维。

由
()()1
=1α 可得方程组的基本解：
1(1,3,1,1),=---e
于是，与这四个参数有关的量纲乘积为
3111=,pv s πρ---
● 四个物理量之间的关系为()10.f π=即
()
3110.f pv s ρ---=
● 根据隐函数运算法则，得
● 3p s v λρ=，
其中λ为无单位的常比例系数。

俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。

● “大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。

● 为了简化模型，我们做出以下假设
1. 饺子都是标准球形
2.
3. 饺子大小全部一致
4.
5. 饺子皮的厚度相同
6. 饺子皮的厚度忽略不计
● 涉及到的物理量：
饺子皮总面积S ，一个饺子皮的面积s ，饺子数n ，饺子半径r ，所包馅的总体积V ，一个饺子包含馅的体积v
●
● 这些物理量有以下关系：
2
3
s=443
/r v r n S s
V nv
ππ===
可得S V =● 因此，大饺子能装馅，这一说法正确。

考察一个模拟水下爆炸的实验，爆炸物的质量m 在距爆炸点的距离为r 处接受冲击波，产生压强为p 。

记大气初始压强为p 0，水的密度为ρ，水的体积弹性模量为k 。

由量纲分析法已经得到300(/,/)p p p k r m ϕρ=。

设模拟现场与现场的p 。

，ρ，k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的1/10000.为使实验中接受到与现场相同的压强，试计算接受冲击波仪器的相对位置（是现场仪器与爆炸点之间距离的多少倍）。

●
● 设模拟实验时现场仪器与爆炸点之间距离为r 1，爆炸物质量为m 1.现场爆炸时现场仪器
与爆炸点之间距离为r 2，爆炸物质量为m 2.
● 根据题目假设有模拟现场与现场的p 。

，ρ，k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的
1/10000。

●
● 根据量纲分析法得到的公式有300(/,/)p p p k r m ϕρ=。

为使实验中接受到与现
场相同的压强，需要使得
331122//r m r m ρρ=，因此有1
3
22111.m r r m ⎛⎫==
⎪⎝⎭
●
● 即132211r m r m ⎛⎫== ⎪⎝⎭。