点电荷在任意封闭曲面内
dΦe
=
4
q
πε 0r 2
dS
cosθ
=
q
4 πε 0
d S＇ r2
其中立体角
d
S
＇ =
r2
dΩ
Φe
=
4
q
πε 0
∫ dΩ
=
q
ε0
第五章 静电场
dSv＇
v dS
+
r
dSv＇
θv
dS
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
点电荷在封闭曲面之外
dΦm1
=
r E1
⋅
v dS1
>
0
dΦm2
=
v E2
⋅
v dS2
<
0
q
v E2
dΦm1 + dΦm2 = 0
v dS2
∫S
v E
⋅
v dS
=
0
v dS1
v
E1
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
由多个点电荷产生的电场
v E
=
v E1
+
v E2
+L
q1
q2
v Ev
dS
∫ ∫ ∑ Φe =
v E
⋅ dSv
=
S
S
v Ei
⋅
v dS
应用高斯定理计算。
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
例1 均匀带电球壳的电场强度
半径为R，均匀带电 Q的薄球
r 壳，求球壳内、外任意点的场强。
r 解（1）0 < r <
∫ s S1
v E1
⋅
v dS
（2）
=
r
0
>
R
Rv
E1
=
0
+ +
+ S+1 +
O+
+
+R +
+++
2
∫S2
v E2
⋅
v dS
第五章 静电场
电场线特性
1） 始于正电荷，止于负电荷（或来自无穷远， 去向无穷远），即有首有尾。
2） 没有电荷处电场线不中断。 3） 没有电荷处电场线不相交。 4） 静电场电场线不闭合。 5） 电场线较密集处，场强较强。
5
–
3
高斯定理及其应用
v
二 电场强度通量（即 E 的通量）
第五章 静电场
通过电场中某一个面的电场线条数叫做通过这个
=
S
E cosθdS
Sv E
⋅
v dS
S 为封闭曲面
θ1
<
π 2
,
dΦe1 > 0
θ2
>
π 2
,
dΦe2 < 0
v dS2
v E
evn
第五章 静电场
v
dS v θE
Ev
v dS1
v θ2 E2
θ1 v E1
5 – 3 高斯定理及其应用
∫ ∫ Φe
=闭合d曲EvΦ面⋅ ed的S=v 电=Ev场⋅ d强SEv度co通s量θ dS
面均的匀电电场场强，度Ev通垂量直. 平面
Φe = ES
均匀电场 ，Ev 与平面夹角θ
Φe Φe =
= ES
v E
⋅
v S
cosθ
面元的方向！
v
S
E
evn
θS θ v
E
5 – 3 高斯定理及其应用
非均匀电场强度电通量
v dS
=
dS
dΦe
=
v E
⋅ ⋅
evnv dS
∫ ∫ ∫ Φe
=
dΦe Φe =
四 高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面——求解的关键； 选择高斯面的原则：
1） 高斯面上场强处处相等，方向与曲面正交。
交向分高；与2）斯其 该面余 处部对部 面分分 元高Ev的高 的斯斯法通面面矢量的场的场evn贡强垂强献与处直为曲处，c面相零o平。等s 9行，0o，方=即向0使与，曲则Ev的面该正方部
s qi
∑ ∫ ∑ = ∫ i (内) ∑∑∫∫ ∑ ∴
S
v Ei
⋅
v dS
i
+
i
Q
i(外)
Φe =
（i 内）
v (外) S
S Ei
S
v Ei
⋅
v Ei
⋅
v dS
⋅
v dS
=
0
v dS
=
1
ε0
qi
i (内）
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
∫ ∑ 高斯定理 Φe =
S
v E
⋅
v dS
=
1
ε0
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的ΨE有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下的三
∫ 个闭合面
Φe1 =
SEv1 ,⋅SdS2v,
S
S
=
3,
q
ε0
求通过各闭合面的电通量。
+q
−q
Φe2 = 0
Φe3
=
−q
ε0
S1
S2 S3
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
o
30o
S1 x
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
三 高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε 0 。
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
∫ ∑ Φe =
S
v E
⋅
v dS
=
1
ε0
n i=1( S内)
qi
请思考：1）高斯面上的
v E
与那些电荷有关？
第五章 静电场
一对等量异号点电荷的电场线
+
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
−q
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
5 – 3 高斯定理及其应用
qi
i (内)
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 5）静电场是有源场.
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
讨论
将q2 从 A 移到 B q2 A P*
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一 电场线 （电场的图示法）
规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向；
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线条数为
该点电场强度的大小 .
v E
=
E
= dN
/ dS
v
S
E
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
5 – 3 高斯定理及其应用
S
S
例1 如图所示 ，有一半
ห้องสมุดไป่ตู้
径 度为 为ERv
半球面放置在电场强 的匀强电场中。求通
过此半球面的电场强度通量 .
Ev ⋅dSv =
Ev ⋅dSv +
v E
⋅dSv
=
0
∫ ∫ ∫ S ∫S2
v E
⋅
v dS
=
−S1Ev
⋅
v S1
=
π
S2
R2E
cos
30o
第五章 静电场
Ev
v dS
S
θv E
S2
v E
R
=
Q
ε0
4
πr 2 E2
=
Q
ε0
QE
4π ε0R2
E2
=
4
Q
πε 0 r 2
∴E
=
⎪⎧ ⎨
0 Q
⎪⎩4 πε0r2
r≤R r>R
o Rr
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
例2 均匀带电球体的电场强度
一半径为 R，均匀带电Q的球
体，求球体内、外任意点的场强。
解（1）0 < r < R
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献？
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
∫ Φe
E
=
=
S
q
4v
E
⋅πdεSv0
r
2
∫=
S
4
q
πε 0 r 2
evr
⋅
evrdS
v
r
dS
+
∴Φe = q / ε 0
5 – 3 高斯定理及其应用