【答案】
(1)
2 3
(2)－∞，3
栏目 导引
第五章 平面向量
角度三 两向量垂直问题 已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C|＝2.
若A→P＝λA→B＋A→C，且A→P⊥B→C，则实数 λ 的值为________．
【解析】 因为A→P⊥B→C，所以A→P·B→C＝0. 又A→P＝λA→B＋A→C，B→C＝A→C－A→B， 所以(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝0，
第五章 平面向量
栏目 导引
第五章 平面向量
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝___a_·_a__
|a|＝__x_21_＋__y21_
夹角
a⊥b 的充
要条件
a·b cosθ ＝__|a_|_|b_|__
栏目 导引
第五章 平面向量
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(
)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(3)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹
角为钝角．( )
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )
(教材习题改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a 与 b 的夹角 θ＝________． 解析：cosθ＝|aa|··|bb|＝－26×63＝－ 23. 又因为 0≤θ≤π，所以 θ＝56π. 答案：56π
栏目 导引
第五章 平面向量
已知向量 a 与 b 的夹角为 30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b| ＝________． 解析：因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2 －4|b|cos30°＝1，即|b|2－2 3|b|＋3＝0，所以(|b|－ 3)2＝0， 所以|b|＝ 3. 答案： 3
栏目 导引
第五章 平面向量
【解析】 (1)设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 c＝(2，－ 5)，所
以 cos〈a，c〉＝1× 24＋5＝23.
(2)因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以 4k－6－6<0，所以 k<3.
栏目 导引
法二：如图，建立平面直角坐标系 xAy.
第五章 平面向量
依题意，可设点 D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中 m＞0， n＞0，则由A→B·A→C＝2A→B·A→D，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n， 0)·(m，m)，所以 n(m＋2)＝2nm，化简得 m＝2.故A→D·A→C＝(m， m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12. 【答案】 12
A．2
B．4
C．6
D．8
(3)已知在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD
＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值为
__________．
栏目 导引
第五章 平面向量
【解析】 (1)法一：因为 a＝(－1，2)，所以 2a＝(－2，4)，因 为 b＝(1，3)，所以 2a－b＝(－3，1)，所以|2a －b|＝ 10，故选 C. 法二：在直角坐标系 xOy 中作出平面向量 a，2a， b，2a－b，如图所示，由图易得|2a－b|＝ 10， 故选 C.
栏目 导引
第五章 平面向量
2．(一题多解)(2019·云南省第一次统一检测)在▱ABCD 中， |A→B|＝8，|A→D|＝6，N 为 DC 的中点，B→M＝2M→C，则A→M·N→M ＝________．
解
析
：
法
一
：
→ AM
·
→ NM
＝
(
→ AB
＋
→ BM
)·(
→ NC
＋
→ CM
)
＝
A→B＋23A→D·12A→B－13A→D＝12A→B2－29A→D2＝12×82－29×62＝24.
栏目 导引
第五章 平面向量
即(λ－1)A→C·A→B－λA→B2＋A→C2＝0， 所以(λ－1)|A→C||A→B|cos120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得 λ＝172.
【答案】
7 12
栏目 导引
第五章 平面向量
(1)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：利用向量数量积的定义知，cosθ＝|aa|·|bb|，其中两个 向量的夹角 θ 的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|， |b|或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cosθ＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22.
栏目 导引
第五章 平面向量
平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解．
栏目 导引
第五章 平面向量
角度二 平面向量的夹角 (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知 a，b 为单位向量，且 a·b
＝0，若 c＝2a－ 5b，则 cos〈a，c〉＝________． (2)若向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________．
1．(2019·青岛模拟)已知向量|O→A|＝3，|O→B|＝2，O→C＝mO→A＋
nO→B，若O→A与O→B的夹角为 60°，且O→C⊥A→B，则实数mn 的值为
()
1
1
A. 6
B. 4
C．6
D．4
栏目 导引
第五章 平面向量
解析：选 A.因为向量|O→A|＝3，|O→B|＝2，O→C＝mO→A＋nO→B，O→A 与O→B夹角为 60°，所以O→A·O→B＝3×2×cos60°＝3， 所以A→B·O→C＝(O→B－O→A)·(mO→A＋nO→B) ＝(m－n)O→A·O→B－m|O→A|2＋n|O→B|2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以mn ＝16，故选 A.
第五章 平面向量
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)如图，在梯形 ABCD
中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若
→ AB
·
A→C ＝
2
→ AB
·
→ AD
，
则
→ AD
·
→ AC
＝
________．
栏目 导引
第五章 平面向量
【解析】 法一：因为A→B·A→C＝2A→B·A→D，所以A→B·A→C－A→B·A→D ＝A→B·A→D，所以A→B·D→C＝A→B·A→D. 因为 AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以 2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cosπ4， 化简得|A→D|＝2 2.故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C ＝(2 2)2＋2 2×2cosπ4＝12.
栏目 导引
第五章 平面向量
(2)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模 的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行 四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求 解．
栏目 导引
第五章 平面向量
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
栏目 导引
第五章 平面向量
(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，
则 a·(2a－b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：选 B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选 B.
栏目 导引
第五章 平面向量
栏目 导引
第五章 平面向量
法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，
则 N(4，6)，M(8，4)． 所以A→M＝(8，4)，N→M＝(4，－2) 所以A→M·N→M＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24. 答案：24
栏目 导引
第五章 平面向量
平面向量数量积的应用(多维探究)
_a_·b_＝__0__
x1cxo2s＋θ y＝1y2 __x_21_＋__y_21 __x_22＋__y_22_
__x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0__
栏目 导引
第五章 平面向量
导师提醒 1．记住平面向量数量积的三个常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 2．关注向量夹角的两个易错点 (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b＞0，反之不成立(因 为 a 与 b 夹角为 0 时不成立)． (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b＜0，反之不成立(因 为 a 与 b 夹角为π 时不成立)．
栏目 导引
第五章 平面向量
(2)因为A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所
以
|
→ AD
|2
＝
4(a
－
b)2
＝
4(a2
－
2b·a
＋