4．已知非零向量A→B与A→C满足|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|·B→C＝0 且
|AA→ →BB|·|AA→ →CC|＝12，则△ABC 为(
)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
解析 因为非零向量A→B与A→C满足|AA→→BB|＋|AA→→CC|·B→C＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC.又 cos∠BAC ＝|AA→→BB|·|AA→→CC|＝12，所以∠BAC＝π3.
9．已知 a，b 是两个互相垂直的单位向量，且 c·a＝c·b
＝1，则对任意的正实数 t，c＋ta＋1t b的最小值是(
)
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
解析 设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由 c·a＝c·b
＝1，得
c
＝
(1,1)
，
c
＋
ta
＋
1 t
b
6．(2017·龙岩一模)已知向量O→A与O→B的夹角为 60°，且
|O→A|＝3，|O→B|＝2，若O→C＝mO→A＋nO→B，且O→C⊥A→B，则实
数mn 的值为( )
1 A.6
1 B.4
C．6
D．4
解析 O→A·O→B＝3×2×cos60°＝3，∵O→C＝mO→A＋nO→B， 且O→C⊥A→B，
O 为坐标原点，若A→O·A→B＝32，则实数 m＝( )
A．±1
B．±
3 2
C．±
2 2
D．±12
y＝x＋m， 解析 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立x2＋y2＝1， 消 去 y 得 2x2＋2mx＋m2－1＝0，由 Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得 － 2<m< 2，又 xAxB＝m22－1，xA＋xB＝－m，所以 yAyB＝(xA ＋m)(xB＋m)＝m22－1，由A→O·A→B＝A→O·(O→B－O→A)＝－O→A·O→B ＋O→A2＝－xAxB－yAyB＋1＝－m2＋2＝32，解得 m＝± 22.故选 C.
所以△ABC 为等边三角形．故选 D.
5．在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝ 3|A→B－A→C|，|A→B|＝|A→C| ＝3，则C→B·C→A的值为( )
A．3 B．－3 C．－92 D.92
解析 由|A→B＋A→C|＝ 3|A→B－A→C|两边平方可得，A→B2＋ A→C 2 ＋ 2 A→B ·A→C ＝ 3( A→B 2 ＋ A→C 2 － 2 A→B ·A→C ) ， 即 A→B 2 ＋ A→C 2 ＝ 4A→B·A→C，又|A→B|＝|A→C|＝3，所以A→B·A→C＝92，又因为C→B＝A→B －A→C，所以C→B·C→A＝(A→B－A→C)·(－A→C)＝A→C2－A→B·A→C＝9－92 ＝92，故选 D.
8．对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义 α·β＝αβ··ββ.
若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈π4，π2，

且 a·b 和 b·a 都在集合

n2n∈Z中，则 a·b 等于(
)
5 A.2
3 B.2
C．1
1 D.2
解析 根据新定义，得 a·b＝ab··bb＝|a||b|b|c|2osθ＝||ab||cosθ，b·a ＝ba··aa＝|a||b|a|c|2osθ＝||ba||cosθ.
课后作业夯关 4．3 平面向量的数量积及其应用
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( )Байду номын сангаас
8 A.65
B．－685
16 C.65
D．－1665
解析 由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y) ＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝(－5,12)．由 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝6156.故选 C.
∴ (m O→A ＋ n O→B )·A→B ＝ (m O→A ＋ n O→B )·( O→B － O→A ) ＝ (m － n)O→A·O→B－mO→A2＋nO→B2＝0，
∴3(m－n)－9m＋4n＝0， ∴mn ＝16.故选 A.
7．已知直线 y＝x＋m 和圆 x2＋y2＝1 交于 A，B 两点，
2．已知向量 a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且 a⊥b，则a|2·aa－＋bb|
等于( )
A．－53
B．1
C．2
5 D.4
解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则 2a－b＝(0,5)， a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴ a|2·aa－＋bb|＝55＝1.故选 B.
又因为 a·b 和 b·a 都在集合 n2n∈Z中，设 a·b＝n21，b·a ＝n22(n1，n2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝n14n2，又 θ∈π4，π2， 所以 0<n1n2<2.
所以 n1，n2 的值均为 1，故 a·b＝n21＝12.故选 D.
3．已知△DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R＝4，如 果O→D＋D→E＋D→F＝0，且|O→D|＝|D→F|，则向量E→F在F→D方向上 的投影为( )
A．6 B．－6 C．2 3 D．－2 3
解析 由O→D＋D→E＋D→F＝0 得，D→O＝D→E＋D→F. ∴DO 经过 EF 的中点，∴DO⊥EF. 连接 OF，∵|O→F|＝|O→D|＝|D→F|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF＝60°. ∴∠DFE＝30°，且 EF＝4×sin60°×2＝4 3. ∴向量E→F在F→D方向上的投影为|E→F|·cos〈E→F，F→D〉＝ 4 3cos150°＝－6，故选 B.
＝
(1,1)
＋
t(1,0)
＋
1 t
(0,1)
＝
t＋1，1＋1t ， c＋ta＋1t b ＝
t＋12＋1＋1t 2 ＝
t2＋t12＋2t＋2t ＋2≥2 2，当且仅当 t＝1 时等号成立．故
选 B.
10．已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量 c 满足|c－a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )