第十章 稳恒电流的磁场
§10-3 磁场的高斯定理
一、磁感应线（B线）
为形象描述磁场分布情况，用一些假想的有方向 的闭合曲线—磁感应线代表磁场的强弱和方向。 磁感应线的特点：
是连续的，不会相交； 是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没有 终点； 方向与电流方向成右手螺旋关系。
【规定】：
B
（1）磁感应线上任意一点的切向代
过圆面来计算： m BS cos B r 2 cos
第十章 稳恒电流的磁场
§10-4 安培环路定理
安培环路定理的表述：
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任一闭合
路径L的线积分，等于μ0乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和，而与路径的形状和大小无关。
数学表达式 符号规定：
rr
Ñ B dl 0 Ii
保守场、有势场
rr
Ñ Bdl L
0 Ii
(穿过)
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理的应用——求B
安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度B时则 要求磁场分布具有对称性，才能把B从积分号中拿出来。
步骤：
①分析磁场的对称性，这是解决问题的关键；只有当电流 的分布具有对称性时，磁场分布也具有对称性，才能满足 用该定律求磁感应强度B的条件； ②适当选取积分闭合回路L（含方向）；使回路L上各点的 磁感应强度B的方向沿该点的切线方向，且大小相等（或 一部分上相等，其余部分为零），这样才能把B提到积分 号外，从而便于计算B ； ③求∑I内 （服从右手螺旋为正，反之为负）； ④由安培环路定理求解B，并说明方向。
l
i
I n 1
L
I1
穿过回路L的电流方向与L的环绕方向
服从右手关系的 I 为正，否则为负。
不计穿过回路边界的电流
I2
Ii I n k
❖ 安培环路定理的证明：
B 0I
2π R
设闭合回路l为圆形回路（I与l成右手螺旋）
蜒 l Bv
v dl
0I dl 2 R
0 I 2 R
Ñl dl
0I
vv
Ñl B dl 0I
l
MN
NO
OP
PM
穿过矩形环路的电流强度：
∑Ii=I×n×l
M
N B B MN 0nMNI
++++++++++++
P
LO
B 0nI
---匀强磁场
【例10】求载流螺线环的磁场分布。设螺线环环
上均匀密绕N匝线圈，线圈中通有电流I，如图所
示。
解：由对称性，与螺线环共轴
的圆周上各点磁感应强度的大
小相等，方向沿圆周为切线方
s B dS 0
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷, 因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零，这反映 了静电场的有源性。 而在磁场中，磁力线的连续性表明，像正、负电荷 那样的磁单极是不存在的，磁场是涡旋场。
【例8】在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S，S
边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
L1 B1 dl1
L2 B2 dl2
=
0
0I 2 r1
r1d
0
0I 2 r2
r2d
= 0I 0I =0
2 2
❖
多电流情况
蜒l Bv
v dl
rr
l Bi dl
?l
r Bi
r dl
i
i
以上结果对任意形状的闭合电流
I1
I2
I 3 （伸向无限远的电流）均成立。
vv
l
Ñl Bdl 0 Ii i
表该点B的方向；
（2）垂直通过某点单位面
积上的磁感应线数目等于该
B
点B的大小。
（3）磁感应线密集处磁场强； 磁感应线稀疏处磁场弱。
磁感应线
二、磁通量Φm
穿过磁场中任一给定曲面的
磁感应线条数。 均匀磁场的通量计算
s s
规定：B dN dS
vv
m BS cos B S
非均匀磁场的通量计r算 r
，如图所示，则通过半球面S的磁通量为？
解：将半球面和圆面组成一个闭合面
，则由磁场的高斯定理知，通过此闭
合面的磁通量为零。 r r
Ñ B dS 0 S S1
rr rr
B dS B dS 0
S
S1
S
S1 B
n
这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相
等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通
向。由安培环路定理：
vv
Ñl B dl 2 rB 0NI
在环管内:
B=
o NI 2 r
I
•
•
•
••
r
•
•o
•
••• •
• • • • •
•lΒιβλιοθήκη B---非匀强磁场
B o Ii
2 r
对于管外任一点, 过该点作一与螺线环同轴的 圆周l1或l2为闭合路径，
dm BdS cos B dS
对整个曲面，磁通量：
rr
m S B dS
n
B
❖ 对封闭曲面，规定外法向为正
B
B
✓磁通量是标量，其正负由角 确定。这样：
✓磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正； ✓磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。
三、磁场高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁 通量的代数和(净通量)必为零，亦即
长直密绕螺线管内磁场
M
NB
+P+++++++L+++O+
载流螺绕环内的磁场
d
无限长载流导线、圆柱 、圆筒
R
L
r
无限大的通电平板
M
N
P
LO
B
灵活应用叠加原理和“补偿法”
【例9】长直密绕螺线管内磁场
解：对称性分析螺旋管内为均
匀场，方向沿轴向, 外部B=0
vv
vv
vv vv vv
Ñ B dl B dl B dl B dl B dl
1) 反映磁场的物理本质；
2）可以求磁场中的环量；
vv
3）可以求磁感应强度。
Ñ Bdl l
0 (I2
I3)
❖ 注意：
1、安培环路定理表达式中的电流强度是指闭合曲线所
包围，并穿过的电流强度，不包括闭合曲线外的电流
rr
Ñ 2、应该强调指出，安培环路定
B dl 0 Ii
理表达式中的磁感应强度B是空 l
i
间所有电流(闭合路径l内外的电
流)产生的磁感应强度的矢量和。
3、电流的符号规定是：当闭合 I1
I2
I3
路径l的方向与电流方向呈右手
l
螺旋关系时，电流I就取正号；
反之，取负号。
静电场与恒定磁场比较
高斯定理
静电场 恒定磁场
r
ÑS E
r dS
1
0
q内
有源场
rr
ÑS B dS 0
无源场
环路定理
rr
ÑL E dl 0
I
B
dl
oR
l dl
若回路绕向为逆时针时，则
蜒l Bv
v dl
l
Bdl
0
I
❖v 对v任意形状的回路
B dl B cosdl
0I rd 0I d
vv
2 r
2
d
I lr
B
dl
Ñl B dl 0I
l与I成右螺旋
B1
B2
d
r1
dl1
dl2
r2
l
❖ 电流在回路之外
rr vv v v
Ñ B dl L