集合的表示[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.知识点集合的表示方法1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.思考(1)由方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表示较好？(2)集合{x|4<x<5}可以用列举法表示吗？(3)列举法可以表示无限集吗？答(1)列举法表示为{－2,1}，描述法表示为{x|(x－1)(x＋2)＝0}，列举法较好.(2)不能，因为这个集合中的元素不能够一一列举出来.(3)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现出一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8，…}.题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.跟踪训练1 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数； (2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集.解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集. (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1}＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1}＝{(1,1)}，是有限集.题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.跟踪训练2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合.解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.题型三 列举法与描述法的综合运用例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}.(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根. 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}.综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.跟踪训练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合. 解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0. ∴k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.弄错数集与点集致误例4 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解的集合是____________.错解 方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}.正解 方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，它是一组数对(1,2)，所以方程组的解可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2}.易错警示跟踪训练4 用列举法表示下列集合. (1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }. 解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意， 所以A ＝{2,5,6}.(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}.1.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1,1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}2.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( ) A.{x |x 是小于18的正奇数} B.{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5} C.{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t <5} D.{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s <6}3.给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集； ③集合{x |x ∈N *，x <5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合. 其中正确说法的序号是( ) A.①② B.②③ C.② D.①③④4.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝5的解集用列举法表示为_________________________________；用描述法表示为________________.5.若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为________.一、选择题1.下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{0} B.{y |y 2＝0} C.{x |x ＝0}D.{x ＝0}2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( )A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1,1)}D.(1,1) 3.集合{x |－3<2x －1≤3，x ∈Z }等于( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{－1,0,1,2}D.{0,1}4.集合{1,3,5,7,9，…}用描述法可表示为( )A.{x |x ＝2n ±1，n ∈Z }B.{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }C.{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}D.{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }5.设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.66.给出下列说法： ①实数集可以表示为{R }；②方程2x －1＋|2y ＋1|＝0的解集是{－12，12}；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集是{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2}； ④集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }与集合N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R }表示同一个集合. 其中说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题7.用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝________. 8.将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ∈N }用列举法表示为_________________________. 9.集合{1，x ，x 2－x }中元素x 应满足的条件为________.10.若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝_______.三、解答题11.用适当的方法表示下列集合.(1)16与24的公约数；(2)不等式3x－5>0的解构成的集合.12.若集合A＝{0,1，－1,2，－2,3}，集合B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，求集合B.13.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.当堂检测答案1.答案 B解析 集合{x |x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B. 2.答案 D解析 分析1,5,9,13,17的特征. 3.答案 C解析 对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示，也可以用描述法表示，表示方法不唯一，故说法①不正确；集合P ＝{x |0≤x ≤1}的元素有无限个，是无限集，故说法②正确；由于{x |x ∈N *，x <5}＝{1,2,3,4}，故说法③不正确；集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同，故两集合不是同一集合，故说法④不正确.综上可知，正确的说法是②.4.答案 {(72，－32)} {(x ，y )|⎩⎨⎧x ＝72，y ＝－32}5.答案 －3解析 由题意知－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根.则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.所以a ＋b ＝－3.课时精练答案一、选择题 1.答案 D解析 A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即方程“x ＝0”.故选D. 2.答案 C解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D. 3.答案 B解析 {x |－3<2x －1≤3，x ∈Z }＝{x |－2<2x ≤4，x ∈Z }＝{x |－1<x ≤2，x ∈Z }＝{0,1,2}，故选B. 4.答案 D 5.答案 B解析 当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8. 由集合元素的互异性知M 中共有4个元素. 6.答案 B解析 实数集就是R ，所以①错误；方程2x －1＋|2y ＋1|＝0的解为x ＝12，y ＝－12，用集合表示为{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－12}，所以②错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，用集合表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2}，所以③正确；y ＝x 2＋1≥1，集合M 表示大于等于1的实数集合，N中的元素(x ，y )表示抛物线y ＝x 2＋1上的点，它们不是同一个集合，所以④错误.故选B. 二、填空题7.答案 {5,4,2，－2} 解析 因为x ∈Z ，86－x∈N ， 所以6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}. 8.答案 {(2,4)，(5,2)，(8,0)}9.答案 x ≠0且x ≠1且x ≠2且x ≠1－52且x ≠1＋52解析 集合中元素要互异， 因此x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0且x ≠1且x ≠2且x ≠1－52且x ≠1＋52.10.答案 {4,9,16}解析 当t ＝－2,2,3,4时，x ＝4,4,9,16，故集合B ＝{4,9,16}. 三、解答题11.解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}. (2)不等式3x －5>0的解集为{x |3x －5>0}或{x |x >53}.12.解 当x ＝0时，y ＝－1； 当x ＝±1时，y ＝0；当x ＝±2时，y ＝3； 当x ＝3时，y ＝8. 所以集合B ＝{－1,0,3,8}.13.解 (1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意.当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素.(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根.所以a 的取值范围是a ≤98.(3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素.当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素.。