2 sin cos sin 2
并注意到 t yx t xy 化简得
1 1 s (s x s y ) (s x s y ) cos 2 t xy sin 2 2 2 1 t (s x s y ) sin 2 t xy cos 2 2
19
8-2 解析法分析二向应力状态
应力状态分析就是研究一点处沿各个不 同方位的截面上的应力及其变化规律。
11
应力状态的研究方法
dx dy dz 0
dz
dy
dx
12
13
8-1 应力状态的概念
sz
z
t zy t yz
t zx
x
sx
s3
sy
t xz
s2
t xyt yx
y
s1
s1 s 2 s 3
14
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 s 1 , s 2 , s 3 表示，并且 该单元体称为主应力单元。
22
8-2 解析法分析二向应力状态
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
s x 60MPa， t xy 30MPa, s y 40MPa, 30。
sy
所以，最大和最小正应力分别为：
s max
s min
s x s y
2
1 2
1 2
s
s
x
2 s y 4t xy 2
s x s y
2
x
2 s y 4t xy 2
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
21
8-2 解析法分析二向应力状态
4. 切应力极值和方向
第八章 应力状态分析与强度理论
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

应力状态的概念 平面应力状态分析-解析法 平面应力状态分析-应力圆法 三向应力状态 广义胡可定律 三向应力状态下的变形能 梁的主应力与主应力迹线 强度理论
1
拉
（压） A
扭
转 A T
拉应力为正
sx
压应力为负
sx
n
x
t
tx
ty
切 应 力
使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。
17
t
8-2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
sx α
ta
n
F
n
0
t xy
sa
dA
s dA t xy (dAcos ) sin s x (dAcos ) cos t yx (dAsin ) cos s y (dAsin ) sin 0
(σ x σ y) 2 sin2α 0 0 τ x ycos2α 0 2τ α 0 2
即α＝α0 时，切应力为零
20
8-2 解析法分析二向应力状态
tan 2 0 2t xy
s x s y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
s3
s2
s1
15
8-2 解析法分析二向应力状态
1.斜截面上的应力
y
sx
α
t yx
t xy
sx α
ta
n
t xy
sa
dA
x
sy
t yx
sy
t
t
F
Байду номын сангаас
n
0
F 0
16
sy
正应力
α角
由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
确定切应力极值 1 t (s x s y ) sin 2 t xy cos 2
2
dt (s x s y ) cos 2 2t xy sin 2 0 d (σ σy ) tan 2t x 2t x y
σx σy 2 σ 2 1 σ 2 t m a xm ) t x y ,i n ( 2t x y 2
7
结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在 应力；不仅要研究横截面上的应力，而且 也要研究斜截面上的应力。
8
t
s
tx
ty
t
s
sy
单元体平衡分析结果表明：即使同一点 不同方向面上的应力也是各不相同的
9
哪一个面上 哪一点？
应 力
指明
哪一点 哪个方向面？
10
过一点不同方向 面上应力的集合， 称之为这一点的应 力状态。
EI
2
拉 强 度 条 件 刚 度 条 件
（压）
扭
转
平 面 弯 曲
s max [s ]
t max [t ]
| T |max Wn [t ] T |max Wn [t ]
s max [s ] t max [t ]
M max Wz [s ] M max Wz [s ]
| ymax | y L L
N max Amin [s ] N max A[s ]
q max [q ]
q max [q ]
3
8－1 应力状态的概念
4
N
Mz
Q
横截面上正应力分析和切应力分析的结果 表明：同一面上不同点的应力各不相同
5
铸
铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
6
低碳钢
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？
t yx
sy
t
F 0
t
t dA t xy (dAcos ) cos s x (dAcos ) sin t yx (dAsin ) sin s y (dAsin ) cos 0
18
8-2 解析法分析二向应力状态
利用三角函数公式
{
1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 1 2 sin (1 cos 2 ) 2
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 1 s (s x s y ) (s x s y ) cos 2 t xy sin 2 2 2 ds (s x s y ) sin 2 2t xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
(s x s y ) sin 2 0 2t xy cos 2 0 0
平 面 弯 曲
A Q
内 力
N
N>
0
T>0
M M>0 Q>0
x
应 力
F s N A
tr
O
t (r )
Tr Ip
s
s
t
My s x Iz
x
QS yt z y bI z
变 形
L
A
AB
B
Tl GI p
n
f
q
x
Nl L EA
n f M ( x) f ( x) q f´