2
3、设
⎛ − 3 − 4 − 4⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ 4 5 4 ⎟ ⎜ − 2 − 2 −1⎟ ⎠ ⎝
计算 A 的特征值和特征向量，并求可
−1 P 逆矩阵 ，使得 P AP 为对角矩阵。
解： A 的特征多项式
f (λ ) = λE − A = (λ + 1)(λ − 1)
2
进而得到特征值 λ1 = −1， λ2,3 = 1 。 解方程组 (λ1E − A)x = 0 可得 λ1 = −1 的 特征向量 x = ( 2, −2,1) 。
T 2
所以属于 λ2 = 2 的全部特征向量为：
Vλ2 = {kx2 Ax2 = λ2 x2 , k ∈ R}
我们记
⎛1 2⎞ ⎟ P = ( x1 , x2 ) = ⎜ ⎜ −1 − 3⎟ ⎝ ⎠
则有பைடு நூலகம்
AP = A( x1 , x2 ) = ( Ax1 , Ax2 ) = (λ1 x1 , λ2 x2 ) =
T 1
解方程组 (λ2 E − A)x = 0 可得 λ2 = 1 的特 征向量 x2 = (1,0, −1) 和 x3 = (1, −1,0) 。
T T
所以取
⎛ 2 ⎜ P = ( x1 , x 2 , x 3 ) = ⎜ − 2 ⎜ 1 ⎝ 1 ⎞ ⎟ − 1⎟ −1 0 ⎟ ⎠ 1 0
则有：
命题 1 相似的矩阵有相同的特征多项式。
证明：设矩阵 A, B 相似，即存在可逆矩 阵 P ，使得 A = P BP 。 因此，利用行列式性质可得：
λ E − A = P −1 (λ E ) P − P −1 BP
= P (λ E − B ) P
−1 −1
−1
= P
λE − B P
= λE − B
λE − A = 0 。 而 λE − A 是关于 λ
的多项式， 称为 A 的特征多项式，记作 f A ( λ ) 或 f ( λ ) ，其根称
为特征值或特征根。
若 λ 是方阵 A 的特征值，则
Vλ = {x Ax = λx}称为特征值 λ 的特征子空间。
由于每一个线性变换 σ 都对应于一个
矩阵 A ，把 f A (λ ) 也称为线性变换 σ 的特征 多项式。 特征多项式的根的重数称为该特征值 的代数重数。
从右边乘上面
各式，得到：
⎧ B0 A = A ⎪ n −1 n n −1 ⎪ B1 A − B0 A = a1 A n−2 n−2 n −1 ⎪ ⎪ B2 A − B1 A = a2 A ⎨ """"" ⎪ ⎪ Bn −1 A − Bn − 2 A2 = an −1 A ⎪ − Bn −1 A = an E ⎪ ⎩
f ( λ ) = λ n + a 1 λ n −1 + " + a n −1 λ + a n
， 由 于
B ( λ )( λ E − A ) = f ( λ ) E ，则有
( λ n −1 B 0 + λ n − 2 B1 + " + λ B n − 2 + B n −1 )( λ E − A )
= λ n E + a1 λ n −1 E + " + a n −1 λ E + a n E
⎛−1 0 ⎜ −1 P AP = ⎜ 0 1 ⎜ 0 0 ⎝
0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎠
⎛ 1 1⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ 4、设 ⎝ 0 1⎟ ，问是否存在可逆矩阵 ⎠
P ，使得矩阵 A 相似于一个对角阵？
解： A 的特征多项式
f (λ ) = λE − A = (λ − 1)
2
所以 A 特征值是 λ1,2 = 1 。
⎛−1 − 2⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ 1、设 ⎝ 3 4 ⎟ ⎠ ，计算
例题
A 的特征值和特
−1 P P AP 为 使得 征向量， 并求可逆矩阵 ，
对角矩阵。 解： 因为 A 的特征多项式为
f (λ ) =
λ +1
−3
2
λ −4
= ( λ − 1)( λ − 2 )
所以得到特征方程 ( λ − 1)( λ − 2) = 0 因此 A 的特征值为 λ1 = 1 ， λ2 = 2 。
由此我们可以得到计算对称矩阵
A 的正交合同（相似）标准形的步骤 如下（或者说求一个正交矩阵 O ，使
得 O AO 为对角矩阵） ： （1） 计算对称矩阵 A 的特征值及特征 向量；
−1
（2）利用 Gram-Schmidt 正交化方法 把属于同一特征值的特征向量正交 化； （3）把所有求出的特征向量单位化； （4）求出正交变换的矩阵 O ，使得
2、设
⎛ −1 − 2⎞ ⎟ A=⎜ ⎜3 4⎟ ⎝ ⎠
计算 A 和 A 。
10
n
解：由例 1 知道，对于矩阵 A ，如果 我们取矩阵
−1
⎛1 2⎞ P=⎜ ⎟ ⎜ − 1 − 3⎟ ⎠ ⎝
则有：
⎛1 0⎞ P AP = ⎜ ⎟ ⎜0 2⎟ ⎠ ⎝
因此 计算可知
⎛1 0⎞ ( P AP) = ⎜ ⎜0 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠
几何重数是
r 。 取 Vλ 的 一 组 基
0
α1,α2 ,",αr ， 并 扩 充 为 V 的 一 组 基
α1,α2 ,",αn ，则 σ 在基 α1,α2 ,",αn 下的矩
阵的形式是：
⎛ λ0 E ⎜ ⎜ 0 ⎝
r
A1 ⎞ ⎟ ⎟ A2 ⎠
此矩阵的特征多项式是：
f (λ ) = (λ − λ0 ) λE − A2
由此可知，λ0 的几何重数 ≤ λ0 的代数 重数。
注意： 由前面的命题和定理我们得到， 判定 一个 n 阶矩阵 A 能否对角化的方法及步 骤是： （1）先计算 A 的特征值和特征向量；
（2）如果 A 的特征值的几何重数等于 它的代数重数，则 A 可以对角化，即就 是一定存在一个可逆矩阵 P ，使得
即 A, B 的特征多项式相同。
问题 计算矩阵
⎛1 0⎞ I =⎜ ⎟ ⎝0 1⎠
⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟ 0 1 ⎝ ⎠
的特征多项式。考虑一下命题 1，你有 什么结论？
显然，这两个矩阵的特征多项式一 样，从而其特征值也一样，都是两个 1。 按命题 1 我们可以得到下列结果： （1）若 n 阶矩阵 A 相似一个单位矩阵， 则这个矩阵的特征值是 n 个 1； （2）若 n 阶矩阵 A 相似一个对角矩阵， 则这个矩阵的特征值就是对角矩阵的对 角线上的元素。
n n
相加即得结果：
f ( A) = A n + a1 A n −1 + " + a n −1 A + a n E = 0
推论 1
线性变换 σ 的特征多项式是
f ( x) ，则 f (σ ) = 0 。
注意 这里 f (σ ) 是一个线性变换。
定理 2 设 n 阶方阵 A 的特征多项式是
O AO 成为对角形矩阵。
T
由于实二次型所对应的矩阵是 一个实对称矩阵，所以利用上述方法 可以求出一个正交相似变换，把此实 二次型化为标准形。其过程是： （1） 写出实二次型所对应的对称矩 阵 A；
（2）按上述方法计算正交矩阵 O； （3）利用正交矩阵 O，写出正交相似 变换： X =OY （4）写出实二次型化成的标准形（标 准形中的系数是 A的特征值） 。
( λE − A) x = 0 的解空间的维数。我们
把 λ 作为 f (λ ) = λ E − A = 0 的根的重数 称为 λ 的代数重数。
在例 3 中， − 1 的几何重数和代 数重数均为 1 ； 1 的几何重数和代数 重数均为 2。在例 4 中，1 的几何重 数是 1，而代数重数是 2。
定理 1 几何重数 ≤ 代数重数。 证明：设线性变换 σ 的特征值 λ0 的
10 10
⎛ −2045 −2046 ⎞ =⎜ ⎟。 3070 ⎠ ⎝ 3069
同理，可得对自然数 n ，有
⎛1 0⎞ −1 ⎛ − 2 + 3 − 2 + 2⎞ ⎜ ⎟ ⎟ A = P⎜ P = ⎜ 0 2⎟ ⎜ 3×2n − 3 3×2n − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n+1 n+1 n n
问题 在一个二维线性空间 V 中，选定 一组基 α1 、 α 2 ，作一个线性变换 σ ， 使得：
比较等式两端 λ 的各次幂的系数，可得：
B0 = E ⎧ ⎪ B1 − B0 A = a1E ⎪ B2 − B1A = a2E ⎪ ⎨ " " " " " ⎪ ⎪ B n −1 − B n − 2 A = a n −1 E ⎪ − B n −1 A = a n E ⎩
依次用
A n , A n −1 , " , A , E
解方程组 (λ1E − A)x = 0 ，可得 λ1 = 1的特 征向量 x1 = (1, −1)
T
所以属于 λ1 = 1的全部特征向量为：
Vλ1 = {kx1 Ax1 = λ1 x1 , k ∈ R}
解方程组 (λ2 E − A)x = 0 ， 可得 λ2 = 2 的 特征向量 x = ( 2, −3) 。
相似标准形
北京科技大学应用学院数力系 卫宏儒 Weihr168@
本章主要内容
一、特征值和特征向量的计算 二、对称矩阵的标准形的计算 三、特征多项式和最小多项式
一、特征值和特征向量的计算
在第五章中， 我们给出了线性变换的特 征值和特征向量概念， 同时引入了方阵 A 的 特征值和特征向量。若 λ 是方阵 A 的特征 即方程组 ( λE − A) x = 0 有 值， 则必有 Ax = λx ， 非零解。因此， λE − A 的行列式为零，也即