都是若尔当块，而
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0
是一个若尔当形矩阵.
5
一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩 阵中包括对角矩阵.
因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵,所以不难 算出,在一个线性变换的若尔当形矩阵中,主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数 计算).
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11
但 (V ) {0}, 得V {0}, 矛盾. 故 (V )的维数 n.
k
将 看成是 (V )上的线性变换, 仍有 k (零变换).
由归纳假设, (V )上有基 1 2 ( 1 ) ( 2 )
t ( t )
(4)
k1 1 ( 1 ), k2 1 ( 2 ), k1 k2 ( ( 1 ) 0) ( ( 2 ) 0)
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2
定义 8 形式为 0 0 0 0 0 0 0 1 J ( , t 1 0 0 0 0 0 0 1 t t 的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中 是复数.由若 干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩 阵,其一般形状如
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15
现在回来证明定理 13 . 因为
Vi { | ( i )ri 0, V }.
所以在 Vi 上有
( i ) .
ri
作
( i ) | Vi ,
则
.
ri
由引理, 有 Vi 的基使τ的矩阵为若尔当形.
§8 若尔当(Jordan)标准形介绍
主要内容
基本概念 主要结论
目录
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1
一、基本概念
从前面第五节的讨论可以知道,并不是对于每 一个线性变换都有一组基,使它在这组基下的矩阵 成为对角形.
那么,在适当选择的基下,一般的一个线性变 换的矩阵能化简成什么形状.
在这一节,我们的讨论限制在复数域中.
1
l2
i
1
i
19
这也是若尔当形.
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li
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把每个 Vi 的上述基合起来是 V 的基,σ在该基下的 矩阵仍为若尔当形矩阵. 上述结果用矩阵表示就是：
定理 14 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当形 矩阵相似. 定理 14是借助于线性变换的不变子空间的直和 分解及取适当基向量来达到证明的.这是用线性变换 的工具来解决矩阵问题的范例. 但这方法用于计算一般矩阵的若尔当形却不方 便. 甚至也难于判断两个 n n 矩阵何时是相似的.
k1
k2
0 1
0
(3)
ks
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10
证 我们对 V 的维数 n 作归纳法.
n 1时,V 有基1 , 且 (1 ) 11 . 由
(1 ) 1 1 0,
k k
得1 0. 于是1 ( (1 ) 0), 是要求的基.
2
, kt ( t )合起来构成 1 (0)的一组基 :
k (1 ), k ( 2 ),
, kt ( t ), t 1 ,
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, s
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14
于是,下列向量集合:
(V )的一组基的原像
1 (1 )
2 ( 2 )
t ( t )
k2 k2 kt kt
,
kt 1
( t ) ( ( t )) ( t ) 0
所以 k1 (1 ),
, kt ( t )是 的核 1 (0)中的向量, 它
们是 (V )的基中的部分向量, 故是线性无关的.
设 t 1 ,
1
, s 是 1 (0)中的向量, 它们与 k1 (1 ),
这一节我们将利用线性变换按它的不变子空间 的直和分解的性质来证明下列重要结论.
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6
二、主要结论
定理 13 设 是复数域上线性空间V的一个线 性变换, 则在V中必定存在一组基, 使 在这组基下 的矩阵是若尔当形矩阵, 称为 的若尔当标准形.
证 设 的特征多项式为
f ( ) ( 1 )r1 ( 2 )r2 ( s )rs ,
(5)
k1 1 (1 ), k2 1 ( 2 ), k1 (1 ) k2 ( 2 )
kt 1 ( t ). kt ( t ), t 1 ,
1 0)的一组基
, s ,
由定理11知虚线方框中的向量与最后一行的向 量合起来就是 V 的一组基, 且符合引理的要求(这时 kt+1 = … = ks =1 ) . 由数学归纳法原理,引理成立.
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20
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16
0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
l1
l2
0 1
0
17
li
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由 ( i ) | Vi 知, 在Vi 上, 有 i ,即
设线性空间维数 < n 时, 引理的结论成立.
对满足引理条件的n维线性空间V , 考察 的不 变子空间 (V ).
若 (V )的维数等于n, 则 (V ) V , 于是
(V )
k
k 1
( (V ))
k 1
(V )
k 2
(V )
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(V ) V
排出下列向量集合：
1 (1 )
2 ( 2 )
t ( t ) kt 1 ( t ). kt ( t ),
k1 1 (1 ), k2 1 ( 2 ), k1 (1 ) k2 ( 2 )
其中实线方框中的向量组正是 (4) 中的向量组, 虚线 方框中的向量组正是实线方框中各向量在τ下的原像 kt k1 所成的向量组. 最后一行中的 (1 ), , (t )
1 , 2 , , s 是 f ( )的全部不同的根. 由定理12知V 可
可分解成 的不变子空间的直和
V V1 V2 Vs
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7
其中
Vi { | ( i ) 0, V }.
ri
我们如能证明在每个Vi 上有一组基使 | Vi 在该基 下的矩阵为若尔当形矩阵, 则定理得证.
| Vi i
于是 | Vi i 在该基下的矩阵为 在该基下 的矩阵(3)与i 在该基下的矩阵i E的和,即为
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18
i 1
i
1
i i
1
l1
i
1

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8
引理 n维线性空间V 上线性变换 满足 k (零变换), k是某正整数, 就称 为V 上幂零线性变换. 对幂零线性变换 ,V 中必有下列形式的一组元素作 为基
1 , (1 ),
k1 1
2 , ( 2 ),
k2 1
s , ( s ), ks 1 ( s ).
其中k1 , k2 , , kt皆为正整数. 由于 1 , 2 , , t (V ), 有1 , 2 ,
kt 1 ( t ). kt ( ( t ) 0)
,t V , 使
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12
(1 ) 1 , ( 2 ) 2 , , ( t ) t
( (s ) 0)
ks
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(2)
(1 );
( 2 );
其中 ( (1 ) 0) ( (2 ) 0)
k1 k2
于是τ在这组基下的矩阵为
9
0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
0 2 0 0 1 1 2 0 , 0 0 1 2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 4 1
0 0 i 0 , 0 1 i 0
0 0 0 0 0 4
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13
因 ( (1 ))
k1 k2
k1 1
(1 ) ( (1 )) ( 1 ) 0 ,
k1 k1
( ( 2 )) ( ( t ))
kt
k2 1
( 2 ) ( ( 2 )) ( 2 ) 0 ,
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3
A1
A2
As
(1)
其中 i 1 Ai 并且1 , 2 ,
i
1
i
1
i ki ki
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, s中有一些可以相等.
4
例如