第三章 3.4一、选择题1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定[答案] B[解析] 由题意设第一年产量为a ，则第三年产量为a (1＋44%)＝a (1＋x )2，∴x ＝0.2.故选B ．2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h [答案] C[解析] 细菌的个数y 与分裂次数x 的函数关系为y ＝2x ，令2x ＝212，解得x ＝12，又每15 min 分裂一次，所以共需15×12＝180 min ，即3 h.3．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] D[解析] 本题考查指数函数的解析式与图象．设山区第一年绿色植被面积为a ，则y ＝a ×(1＋10.4%)xa＝(1＋10.4%)x ，故选D ．4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的13以下，则至少需要重叠玻璃板数为( )A ．8块B ．9块C．10块D．11块[答案] D[解析]设至少需要重叠玻璃板数为n，，解得n≥11.由题意，得(1－10%)n≤135．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各1件，盈亏情况是()A．不亏不赚B．亏5.92元C．赚5.92元D．赚28.96元[答案] B[解析]设A产品的原价为a元，B产品的原价为b元，则a(1＋20%)2＝23.04，求得a＝16；b(1－20%)2＝23.04，求得b＝36.则a＋b＝52元，而23.04×2＝46.08元．故亏52－46.08＝5.92(元)．故选B．6．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比()A．不增不减B．约增8%C．约增5% D．约减8%[答案] D[解析]设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921 6a，比原来约减8%.二、填空题7．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．[答案]30[解析]由题意，知y1＝y2，∴－x＋70＝2x－20，∴x＝30.8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2； ③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中，正确的是________．(填序号)． [答案] ①②④[解析] ∵关系为指数函数，∴可设y ＝a x (a >0且a ≠1)．由图可知2＝a 1.∴a ＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法③不正确；t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝t 3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度越来越快，∴说法⑤不正确．故正确的有①②④.三、解答题9．某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg ，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后人均一年占有y kg 粮食，求函数y 关于x 的解析式．[解析] 设该乡镇目前人口量为M ，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M . 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)，人口总量为M (1＋1.2%)， 则人均占有粮食为360M (1＋4%)M (1＋1.2%)；经过2年后，人均占有粮食为360M (1＋4%)2M (1＋1.2%)2； ……经过x 年后，人均占有粮食为y ＝360M (1＋4%)xM (1＋1.2%)x＝360(1.041.012)x ＝360(260253)x .即所求函数解析式为y ＝360(260253)x .10．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则10年后有两种结果： 连续生长10年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； 生长5年后重新栽树木，木材量M ＝2Q (1＋18%)5. 则M N ＝2(1＋10%)5. ∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴MN>1，即M >N .因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量.一、选择题1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2010年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是 ( )A ．y ＝0.95x 50·mB ．y ＝(1－0.05x50)·mC ．y ＝0.9550－x ·m D ．y ＝(1－0.0550－x )·m[答案] A[解析] 设每年减少的百分比为a ，由在50年内减少5%，得(1－a )50＝1－5%＝95%，即a ＝1－(95%)150.所以，经过x 年后，y 与x 的函数关系式为 y ＝m ·(1－a )x＝m ·(95%)x50 ＝(0.95)x50·m .2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )A ．300B ．400C ．600D ．700[答案] A[解析] 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)中，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，则y ＝100log 2(x ＋1)，所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故选A ．3．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )A ．10%B ．15%C ．18%D ．20%[答案] D[解析] 设平均每次降价的百分率为x ，则2 000(1－x )2＝1 280，所以x ＝20%，故选D ．读懂题意正确建立函数模型，求解可得．4．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2≈0.301 0)( )A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次[答案] C[解析] 本题考查对数函数的应用．设至少抽x 次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(1－60%)x <0.1%，即0.4x <0.001，∴x lg0.4<－3，∴x >－3lg0.4＝－32lg2－1≈7.5，故选C ．二、填空题5．如图，由桶1向桶2输水，开始时，桶1有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e－nt，那么桶2的水就是y ＝a －a e－nt.假设经过5 min ，桶1和桶2的水相等，则再过____min ，桶1中的水只有a8L.[答案] 10[解析] 由题意可得，经过5 min时，a e －5n ＝a 2，n ＝15 ln2，那么a e －15t ln2＝a 8，所以t ＝15，从而再经过10 min 后，桶1中的水只有a8L6．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，则成本y 随经过的年数x 变化的函数关系为________．[答案] y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m ) [解析] 成本经过x 年降低到y 元，则 y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )． 三、解答题7．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．据报道中国青海玉树2010年4月14日发生地震的震级为7.1级．而2011年3月11日，日本发生9.0级地震，那么9.0级地震释放的能量是7.1级地震的多少倍(精确到1)?[解析] 9.0级地震所释放的能量为E 1,7.1级地震所释放的能量为E 2， 由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×7.1＋11.4＝22.05，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－22.05＝2.85，故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝2.85，则E 1E 2＝102.85≈708，即9.0级地震释放的能量是7.1级地震的708倍．8．某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51元才合算．请你帮助确定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出：A 种商品的所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示：取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2.把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2， 解得a ＝－0.15.所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.25＝k ＋b 1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.25b ＝0.所以y ＝0.25x . 即前6个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前6个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，所以W ＝－0.15(x A －196)2＋0.15×(196)2＋2.6，当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元．此时x B ≈8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．。