矩形、菱形、正方形◆课前热身1.如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____．AB CDEA′2．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A ，则这个菱形的面积= cm2．3．如图1，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．基本图案图1 A． B． C． D．4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形5．如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是．6．的平行四边形是是菱形（只填一个条件）．【参考答案】1.60°2.603.A4. A5.答案不唯一，如AC=BD，∠BAD=90o，等6.对角线互相垂直（或有一组邻边相等，或一条对角线平分一组对角）ACABACACABOO O OO◆考点聚焦 知识点矩形 菱形 正方形 大纲要求1．理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法． 2．理解几种特殊的平行四边形之间的关系．3．了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义． 4．会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题．5．会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题．考查重点和常考题型本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、•判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题． ◆备考兵法1．在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，•通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决．正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷．2．在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，•将所求的结论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角． ◆考点链接1. 特殊的平行四边形的之间的关系正平行四边形矩形菱形方形四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°一组邻边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等2. 特殊的平行四边形的判别条件要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .3. 特殊的平行四边形的性质边角对角线矩形菱形正方形◆典例精析例1（2009年浙江杭州）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．【答案】14或16或26【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。

解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。

本题的不同拼法有：例2（2009年浙江杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55°【答案】 D【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。

A B CDEF O解答本题应首先延长PF 交AB 的延长线于点G ，根据题意，利用角角边可证明BGF ∆≌CPF ∆，于是得到G FPC ∠=∠，PF=FG ，所以在EGP Rt ∆中，EF 是斜边上的中线，于是得到FE=FG ，所以FEG G ∠=∠，又因为E 、F 分别为中点，所以EB=FB ，所以，FE=FG=BF ，所以BFE BEF G FPC ∠=∠=∠=∠，又因为∠A=110°，所以070=∠EBF ,因此，00180702=+∠FPC ,解得055=∠FPC 。

例3（2009年贵州贵阳）如图，已知面积为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 任意作一条直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ． 【答案】14或0.25.【解析】本题综合考察了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力，属于基础题，依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△AOE ≌△COF ,则得图中阴影部分的面积为正方形面积的14，因为正方形的边长为1，则其面积为1，于是这个图中阴影部分的面积为14。

解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解。

例4（2009年山东威海）如图1，在正方形ABCD 中，E F G H ，，，分别为边AB BC CD DA ，，，上的点，HA EB FC GD ===，连接EG FH ，，交点为O ． （1）如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；A B CDEP F图1D C B AO HG FE BADC GF H 图2图3（2）将正方形ABCD 沿线段,EG HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．【分析】（1）结合条件观察图形2容易发现：AEH BFE CGF DHG △≌△≌△≌△，得出：四边形EFGH 是菱形；再由DHG AEH △≌△可知：90DHG AHE ∠+∠=°，从而证得四边形EFGH 是正方形.（2）连接EH 、HG 、GF 、FE ，由第（1）小题可知：四边形EFGH 是正方形，可得阴影部分面积是1. 【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． 证明：四边形ABCD 是正方形，∴90A B C D AB BC CD DA ∠=∠=∠=∠====°，.HA EB FC GD ===， AE BF CG DH ∴===．AEH BFE CGF DHG ∴△≌△≌△≌△． EF FG GH HE ∴===．∴四边形EFGH 是菱形．由DHG AEH △≌△知DHG AEH ∠=∠．90AEH AHE ∠+∠=°， 90DHG AHE ∴∠+∠=°． 90GHE ∴∠=°．∴四边形EFGH 是正方形．（2）1． 迎考精炼 一、选择题1.（2009年吉林长春）菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(2，B ．2)，C ．(211)，D ．(121)，2．（2009年广西南宁）如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3.（2009年湖南长沙）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．434．（2009年湖北孝感）如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN = EF ．你认为（ ） A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对5．（2009年黑龙江齐齐哈尔市）梯形ABCD 中，AD BC ∥，1AD =，4BC =，70C ∠=°，40B ∠=°，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2009年山西）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）ABCDO D C A BxyO C B AA ．2m n - B ．m n - C ．2mD ．2n二、填空题1.（2009年广西贺州）如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．2.（2009年青海）如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．3.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD 的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是 ．4.（2009年山东烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．5．（2009年山东日照）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .Amnnn（2）（1）ADCBO三、解答题1.（2009年浙江嘉兴）如图，在平行四边形ABC D 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ． （1）求证：△ABE ∽△ADF ；（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．2. (2009年安顺安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1） 求证：BD =CD ；（2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

ADCBGHFBCDAO（第5题图）3.（2009年湖南益阳）如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.4.（2009年吉林长春）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．5.（2009年广西南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180AB CD EF米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？6.（2009年福建龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：ABN ADN△≌△；②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M到AD的距离及tanα的值；（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．C BMND（图1）C M BNAD（图2）【参考答案】 一、选择题 1.C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A二、填空题 1.232.AC BD ⊥或AB BC =，或BC CD =，或CD DA =，或AB AD =3.正方形（对角线互相垂直的四边形均可）4.175.∠DAC ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CDA ，∠DBC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠DCB ，OB ＝OC ，OA ＝OD ；(任选其一) 三、解答题1.（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF ． ∴△ABE ∽△ADF （2）∵△ABE ∽△ADF ， ∴∠BAG ＝∠DAH ．∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG ， 从而∠AGB ＝∠AHD ． ∴△ABG ≌△ADH ． ∴AD AB =．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形． 2.（1）AF BC ∥，AFE DCE ∴=∠∠E 是AD 的中点，AE DE ∴=．(3')AFE DCE AE DEAEF DEC AEF DEC ∠=∠⎧⎪=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩AF DC ∴=，AF BD = BD CD ∴=（2）四边形AFBD 是矩形AB AC =，D 是BC 的中点AD BC ∴⊥ ，90ADB ∴=∠AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形又90ADB =∠ ∴四边形AFBD 是矩形．3.(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF .∴∠DAB ＝∠EAB，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°，∴∠EAF ＝90°. 又∵AD ⊥BC∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90°. 又∵AE ＝AD ，AF ＝AD ∴AE ＝AF .∴四边形AEGF 是正方形.(2)解：设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x . ∵BD ＝2，DC ＝3 ∴BE ＝2 ，CF ＝3 ∴BG ＝x －2，CG ＝x －3. 在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2∴( x －2)2＋(x －3)2＝52. 化简得，x 2－5x －6＝0解得x 1＝6，x 2＝－1（舍） 所以AD ＝x ＝6.4.解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=6 ∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6 又∵AE=9∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE=117692222=+=+AB AE∵ABE DEF △∽△， ∴EFBEDE AB =，即EF 11726=∴EF=3117 5．解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x +=（2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去） ∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少．最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元 6.（1）①证明：∵四边形A BCD 是菱形 ∴AB = AD ，∠1 =∠2又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN②解：作MH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ， 由AD ∥BC ，得∠MAH =∠ABC = 60°，在Rt △AMH 中，MH = AM ·sin60° = 4×sin60° = 23， ∴点M 到AD 的距离为23．易求AH=2，则DH=6＋2=8．在Rt △DMH 中，tan ∠MDH=43832==DH MH ， 由①知，∠MDH=∠ABN=α． 故tan α=43（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD 是正方形 此时，∠CAD=45°．下面分三种情形：CBMAN DH12 CM BN AD12 3 4Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=62，∴CM=CN=AC－AN=62－6，故x = 12－CM=12－（62－6）=18－62综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN是等腰三角形。