金戈铁骑2019届高三12月份内部特供卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =≤<，{}260N x x x =--<，则集合M N I 等于（ ）A ．{}02x x ≤<B ．{}23x x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}20x x -≤<【答案】A【解析】由集合{}02M x x =≤<，{}{}26023N x x x x x =--<=-<<， 则集合{}02M N x x =≤<I ，故选A ． 2．已知复数z 满足5i34iz =-，则z =（ ） A ．3 B ．5 C ．1D ．5【答案】C【解析】由题意，复数z 满足()()()5i 34i 5i 43i 34i 34i 34i 55z +===-+--+， 则224343i 15555z ⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．3．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（ ）A ．π4B ．14π-C ．π12- D ．2π【答案】B【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S =， 根据面积比的几何概型可得概率为4π144πp -==-，故选B ． 4．函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．2π4π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZB ．2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．2π4π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．2π4π4π,4π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z【答案】B【解析】由题意，函数()26πtan x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππππ2262x k k -+<-<+，k ∈Z ，解得2π4π2π2π33k x k -<<+，k ∈Z ， 即函数()f x 单调递增区间是2π4π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选B ．5．设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为（ ） A ．()2,2- B ．()0,+∞C ．()()0,22,+∞UD ．[]2,2-【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x≠，解得0x >且2x ≠， 即x 的范围为()()0,22,+∞U ，故选C ．6．如下图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的夹角为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1CD ，1AD ，则11CD A B ∥， 在异面直线AC 与1A B 所成的角等于直线AC 与1CD 所成的角，即为1ACD ∠， 又由1ACD △为等边三角形，所以160ACD ∠=︒， 即异面直线AC 与1A B 所成的角等于60︒，故选C ．7．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥--≤-+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数2z x y =-，可化为122z y x =-，结合图形，可得直线122zy x =-经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由()100,1330x y A x y +-=⇒-+⎧⎨⎩=， 所以目标函数的最小值为0212z =-⨯=-，故选B ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=， 根据等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式，可得6877263a a a a +==⇒=，9678988331S S a a a a a -=++==⇒=，则872d a a =-=-，可求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，即1720n -≥，解得172n ≤，又由n ∈*N ， 可得等差数列{}n a 中，当18n ≤<，n ∈*N 时，0n a >，当9n ≥，n ∈*N 时，0n a <， 所以使n S 取得最大值时n 的值为8，故选D ．9．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则:ABF BFO S S =△△（ ）A ．1:1B ．1:2C ．()23:2-D ．3:2【答案】A【解析】由题意，椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为12，则面积为()12ABF S a c b =-⨯△，12BFO S cb =△，则()12121112ABFBFOa cb S ac a S c c cb --===-=-=△△，故选A ． 10．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动。

在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想。

在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈的结论。

若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数)金戈铁骑A ．768B ．144C ．767D ．145 【答案】D【解析】由题意，小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln xx x≈，则估计1000以内的素数的 个数为为()100010001000π1000145lg10003ln1000lge 0.43429≈==≈，故选D ．11．定义在上R 的连续可导函数()f x ，若当0x ≠时有()0xf x '<，则下列各项正确的是（ ） A ．()()()1220f f f -+> B ．()()()1220f f f -+=C ．()()()1220f f f -+<D ．()()12f f -+与()20f 大小不定【答案】C【解析】由题意可知，函数在上R 的连续可导函数()f x ，且当0x ≠时有()0xf x '<， 当0x >时，()0f x '<，所以函数()f x 为单调递减函数； 当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数，所以()()10f f -<，()()20f f <，所以()()()1220f f f -+<，故选C ． 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，求()()22a cb d -+-的最小值（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由题意，可知点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，(),d c 是直线:1l y x =+上的点， 则()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 易知所求的最小值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()12sin 2π13cos2πf x x x =+，则()f x 的最小正周期为______．【答案】1【解析】由题意，函数()()2212sin 2π13cos2π12132πf x x x x ϕ=+++， 其中13tan 12ϕ=则()f x 的最小正周期为2π12πT ==． 14．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，L ，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_____． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】068【解析】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第8列开始向右读取， 依次为331，455，068，L ，所以第3支疫苗的编号为068．15．若1a >，则双曲线22213x y a-=的离心率的取值范围是___________． 【答案】()1,2【解析】由题意，双曲线22213x y a-=，可得双曲线的离心率为22331c a e a a +===+ 因为1a >，可得()2311,2e a +，即双曲线的离心率的取值范围是()1,2． 16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ABCD ⊥底面，且2PD a =， 若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________． 【答案】(22a【解析】由题意，当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球的半径最大，作出其侧视图，如图所示，易知球的半径()22r a =-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()11n n n a a n a +=∈+*N ，且()1n nb n a =∈*N ． （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，求出n T 的表达式．【答案】（1）证明见解析；（2）1n nT n =+．【解析】（1）证明：因1n n b a =，且11n n n a a a +=+， 故111111n n n n na b a a a +++===+，故11n n b b +-=． 又因1111b a ==，故数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知数列{}n b 的通项公式为n b n =， 又1n n b a =，所以11n n a b n ==．故()111111n a n n n n n ==-+++，所以11111111nn k n T k k n n =⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭∑． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2PA AB ==，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．（1）求此四棱锥的体积； （2）求证：AG ∥平面PEC ； （3）求证：平面PCD ⊥平面PEC ．【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）四棱锥的体积118222333P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯=．（2）证明：在PC 上取中点为F ，连接EF 和FG ， 则易得AE FG ∥，且12AE CD FG ==，且故四边形AEFG 为平行四边形，故EF AG ∥， 又EF ⊂面PEC ，AG ⊄面PEC ，故AG ∥面PEC ．（3）证明：∵CD AD ⊥，CD PA ⊥， 又PA AD A =I ，∴CD ⊥平面PAD ， 又AG ⊂平面PAD ，∴CD AG ⊥，又PD AG ⊥，PD CD D =I ，∴AG ⊥平面PCD ．∴EF ⊥平面PCD ． 又EF ⊂面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．19．（12分）下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图金戈铁骑注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数r ，并用相关系数的大小说明y 与t 相关性的强弱；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注： 参考数据：7110.97i i y ==∑，7147.36i i i t y ==∑()7210.664i i y y =-=∑7 2.646≈．参考公式：相关系数()()()()()()11122221111nnniii iii i i nnn ni i i i i i i i t t y y t y t yr t t y y t t y y =======---==----∑∑∑∑∑∑∑，回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆˆay bt =-． 【答案】（1）0.99r ≈，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；（2）回归方程为 1.070.ˆ12yt =+，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨． 【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，()72128i i t t =-=∑()7210.664ii y y =-=∑，()()77711147.36410.97 3.48i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑，∴ 3.480.990.6642 2.646r ≈≈⨯⨯．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．（2）由10.97 1.5677y =≈及（1）得()()()717213.480.128ˆ42ii i i i tty y b t t ==--==≈-∑∑， ∴ 1.5670.1244 1.ˆ07ˆay bt =-≈-⨯≈．所以y 关于t 的回归方程为 1.070.ˆ12y t =+． 将2018年对应的9t =代入回归方程得 1.070.122ˆ9.15y=+⨯=． 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨．20．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线1x =-上的点，且FP FQ ⊥．求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由见解析．【解析】（1）抛物线的准线方程为2p x =-，所以点()2,E t 到焦点的距离为232p+=． 解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由如下：设点P 为200,4y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点Q 为()1,m -，焦点F 为()1,0．则2001,4y FP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()2,FQ m =-u u ur ．由题意可得0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，故2002104y my ⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭，从而20042y m y -=． 故直线PQ 的斜率0200214PQy mk y y -==+．故直线PQ 的方程为200024y y y x y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 即20024y y y x =-①．又抛物线C 的方程24y x = ②， 联立消去x 得()200y y -=，故0y y =，且24y x =． 故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 21．（12分）已知函数()ln f x x ax =+， （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 的零点个数．【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．（2）当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1a =-时，函数()f x 有一个零点；当10ea -<<时，函数()f x 有两个零点．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()11'ax f x a x x+=+=， ①当0a ≥时，()'0f x >，故()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a <时，令()'0f x =，则1x a=-，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()'0f x >，()f x 单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()'0f x <，()f x 单调递减． 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．（2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减．故()max 11ln 1f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当1ln 1a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即e 1a <-时，10f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时函数()f x 没有零点． ②当1ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即e 1a =-时，10f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时函数()f x 有一个零点． ③当1ln 1a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即10e a -<<时，10f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令01b <<且1b a<-，则ln 0b <，()ln ln 0f b b ab b =+<<， 故()10f b f a ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故()f x 在1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点；再者，2211111ln 2ln f a a aa a ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a=-，则()e,t ∈+∞；再令()2ln g t t t =-，()e,t ∈+∞，则()2'10g t t=-<，故()g t 在()e,+∞上单调递减， 故()()e e 20g t g <=-<，210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故2110f f a a ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在211,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点． 故()f x 在()0,+∞上有两个零点．综上所述：当e 1a <-时，函数()f x 没有零点；当e 1a =-时，函数()f x 有一个零点；当10ea -<<时，函数()f x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα==+⎧⎨⎩(t 为参数，[)0,πα∈)，曲线C 的极坐标方程为4sin ρα=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q两点，若PQ =，求直线l 的斜率． 【答案】（1）()2220x y +-=；（2）．【解析】（1）4sin ρθ=Q ，24sin ρρθ∴=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得224x y y +=． ∴曲线C 的直角坐标方程为()2220x y +-=．（2）把cos 1sin x t y t αα==+⎧⎨⎩代入224x y y +=，整理得22sin 30t t α--=，设其两根分别为1t ，2t ，则122sin t t α+=，123t t =-，12PQ t t ∴=-=sin α=，2ππ33α=或，∴直线l 的斜率为．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】金戈铁骑设函数()12f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）当[]2,3x ∈时，()22f x x x m ≥-++恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）(],3-∞．【解析】（1）()12,1123,1221,2x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩， 由()3f x ≤，解得12x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{}12x x -≤≤． （2）当[]2,3x ∈时，()21f x x =-，由()22f x x x m ≥-++，得2212x x x m -≥-++， 也就是21m x ≤-在[]2,3x ∈恒成立， 故3m ≤，即m 的取值范围为(],3-∞．【广东省中山一中等七校联合体2019届高三第二次（11月）联考数学（文）试题用稿】。