2018-2019学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法3．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）)A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣64．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A．2 B．3 C．4 D．55．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．16．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）《A．B．C．D．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，那么公比q的取值范围是（）A．q＞1 B．0＜q＜1 C．q＜0 D．q＜19．函数y=的图象大致为（）A．B．C． D．{10．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．11．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1212．设2cosx﹣2x+π+4=0，y+siny•cosy﹣1=0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题{13．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=．14．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为．15．已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是．16．已知f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（msinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f （x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；）（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．[80，90）分数段[50，60）[60，70）…[70，80）x：y1：12：13：44：5—19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N*），若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．21．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；—（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里请予证明．22．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．\、-，(2018-2019学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．[【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A2．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法/【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4，所抽取的比例也是5：4．故选D3．已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣5 D．﹣6【考点】简单线性规划．[【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知当直线过A（﹣1，﹣2）时z有最小值为﹣1+2×（﹣2）=﹣5．故选：C．4．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）*A．2 B．3 C．4 D．5【考点】茎叶图．【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分87，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，=91，∴635+x=91×7=637，∴x=2，·故选A．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，￥它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．%【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）!A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．￥8．在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，那么公比q的取值范围是（）A．q＞1 B．0＜q＜1 C．q＜0 D．q＜1【考点】等比数列的性质．【分析】根据a n＜a n+1，判断出a n＜a n q即a n（1﹣q）＜0，且q＞0．进而根据a1＜0，q＞0推知则a n＜0，1﹣q＞0，最后可得q的范围．【解答】解：在等比数列{a n}中，a1＜0，若对正整数n都有a n＜a n+1，则a n＜a n q即a n（1﹣q）＜0若q＜0，则数列{a n}为正负交错数列，上式显然不成立；|若q＞0，则a n＜0，故1﹣q＞0，因此0＜q＜19．函数y=的图象大致为（）A．B．C． D．【考点】余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．【分析】由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解答】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），…∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．10．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）"A．B．C．D．【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），则A（0，0），C（2，1），则•≥1等价为2x+y≥1，作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，当y=0时，x=，即E（，0），*则△ADE的面积S==，则五边形DCBE的面积S=2﹣=，则•≥1的概率P==，故选：D．11．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣3，S5，S10成等差数列，则S15﹣S10的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．12>【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得S10﹣2S5=3，结合等比数列的性质得到（S10﹣S5）2=S5（S15﹣S10），把S15﹣S10转化为含有S5的代数式，然后利用基本不等式求得答案．【解答】解：由题意得2S5=﹣3+S10，∴S10﹣2S5=3．由数列{a n}为等比数列可知，S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，∴（S10﹣S5）2=S5（S15﹣S10），即S15﹣S10==+S5+6≥2+6=12，当且仅当S5=3时上式“=”成立．即有S15﹣S10的最小值为12．、故选D．12．设2cosx﹣2x+π+4=0，y+siny•cosy﹣1=0，则sin（x﹣2y）的值为（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由y+sinycosy﹣1=0，得y+sin2y﹣1=0，令2y=x﹣，代入方程上述方程整理满足已知条件．即可得出．【解答】解：由y+sinycosy﹣1=0，得y+sin2y﹣1=0，令2y=x﹣，代入方程上述方程可得：﹣+sin﹣1=0，—整理得：2cosy﹣2y+π+4=0，满足已知条件．∴x﹣2y=，则sin（2x﹣y）=sin=1．故选：A．二、填空题13．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣6．【考点】等比数列的性质．:【分析】由公差d的值为2，根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a4，由a1，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质列出关于首项a1的值，再由公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a2的值．【解答】解：由等差数列{a n}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，又a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1•（a1+6），解得：a1=﹣8，则a2=a1+d=﹣8+2=﹣6．故答案为：﹣6>14．若x，y＞0，且，则x+3y的最小值为16．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且，∴x+3y==10+≥10+6=16，当且仅当x+3y=1，即=y取等号．因此x+3y的最小值为16．故答案为16．/15．已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解答】解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°…又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．16．已知f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（msinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】全称命题．`【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=，x∈R，∴f（﹣x）==﹣==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在（﹣∞，+∞）是为增函数，由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0，得f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1），则msinθ＞m﹣1，…即（1﹣sinθ）m＜1，当θ=时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，当θ∈（0，），0＜sinθ＜1，∴m＜，∵0＜sinθ＜1，∴﹣1＜﹣sinθ＜0，0＜1﹣sinθ＜1，则＞1，则m≤1，故答案为：（﹣∞，1]．，三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f （x）的图象经过点（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的取值集合．【考点】平面向量的综合题．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得，f（x）==m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x，由f（）=2可求m（Ⅱ）由（Ⅰ）得，结合正弦函数的性质可求]【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x由已知，∴2m=2即m=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当=﹣1时，f（x）的最小值为此时2x+=即{x|，k∈Z}18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．$（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：5"x：y【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+++）=1，解方程即可得到a的值；—（2）由平均数加权公式可得平均数为55×+65×+75×+85×+95×，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+++）=1，解得a=；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×+65×+75×+85×+95×=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，[数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的周长为5+，面积为，求c．【考点】余弦定理；正弦定理．'【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合C的范围可得sinC≠0，可求cosC=，即可得解C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可求ab，利用余弦定理可得（a+b）2﹣18=c2，结合a+b+c=5+，即可解得c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，∴2cosCsin（A+B）=sinC，可得：2cosCsinC=sinC，∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC=，可得：C=．（Ⅱ）由题意可得：S=absinC=，—∴解得：ab=6，又∵a2+b2﹣2abcos=c2，可得：（a+b）2﹣3ab=c2，可得：（a+b）2﹣18=c2，又a+b+c=5+，∴（5+﹣c）2﹣18=c2，∴解得：c=．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；"（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=2，f（b n+1）=，（n∈N*），若c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由当n=1，a1=2，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，可知a n=2a n﹣1，数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）f（b n+1）=，（n∈N*），代入即可求得b n+1=b n+3，b1=f（﹣1）=2，数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，c n==，利用“错位相减法”即可求得，数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1，a1=2a1﹣2，即a1=2，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，-∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2×2n﹣1=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ∵）f（x）=（）x，f（b n+1）=，（n∈N*），∴=，∴=，即b n+1=b n+3，∴b n+1﹣b n=3，b1=f（﹣1）=2，.∴数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴b n=3n﹣1，c n==，∴T n=+++…++，T n=+++…++，两式相减得：T n=1++++…+﹣，=1+×﹣，=1+（1﹣）﹣，∴T n=2+3（1﹣）﹣，=2+3•﹣，∴T n=5•．21．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．（1）设AD=x （x ≥0），ED=y ，求用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里请予证明．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用．【分析】（1）先根据S △ADE =S △ABC 求得x 和AE 的关系，进而根据余弦定理把x 和AE 的关系代入求得x 和y 的关系．（2）根据均值不等式求得y 的最小值，求得等号成立时的x 的值，判断出DE ∥BC ，且DE=．进而可得函数f （x ）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．【解答】解（1）在△ADE 中，y 2=x 2+AE 2﹣2x•AE•cos60°⇒y 2=x 2+AE 2﹣x•AE ，①又S △ADE =S △ABC ==x•AE•sin60°⇒x•AE=2．② ②代入①得y 2=x 2+﹣2（y ＞0）， ∴y=（1≤x ≤2）；（2）如果DE 是水管y=≥，当且仅当x 2=，即x=时“=”成立，故DE ∥BC ，且DE=． 如果DE 是参观线路，记f （x ）=x 2+， 可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f （x ）max =f （1）=f （2）=5．∴y max =．即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长．22．已知f （x ）=|x 2﹣1|+x 2+kx ．（Ⅰ）若k=2，求方程f （x ）=0的解；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=0在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）当k=2时，方程是含有绝对值的方程，对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝对值后解之；（2）先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0解得由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；由f（x2）=0得，所以；故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即，因为x2＜2，所以．。