2 31普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(四)本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合A = {x y = log (-x 2+12x - 20 )}, B = {y y = log (x -1 ), x ∈ A }，则 A ⋂ (C U B ) = A ．[2，10)B ．(2，10)C ．(0，2)D ． ∅a + i 2. 已知 i 为虚数单位，若复数 z =在复平面内所对应的点位于 1- i(a ∈ R ) 为纯虚数，则 z i = (-2 + i ) z 的共轭复数A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某品牌家电厂商为了扩大知名度，在一段时期内进行广告宣传．已知其广告费用 x (单位：万元)与销售额 y(单位：万元)具有线性关系，其前五个月的统计数据如下表：由上表可得线性回归方程 y = 17x + a，据此模型预估广告费用为 8 万元时的销售额是A ．108 万元B ．115 万元C ．118 万元D ．123 万元4. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 A ．2 B ． -3 C ． - D ． 22 32 ⎪ y ≥ m ,⎝ ⎝ x 2y 2⎛ 3 ⎫5.与双曲线 - 4 9 率分别为A ． 2 2, 2C ． 6 2,13 2= 1 有共同的渐近线，且经过点 A 3, - ⎪ 的双曲线的虚轴长和离心⎝ ⎭B ． 3 2,2D ． 4 2, 2 6. 中国古代数学经典著作《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi ē nào)．若三棱锥P-ABC 为鳖臑，且 PA ⊥平面 ABC ，AB=3，BC=4，AC=5，又该鳖臑的体积为 12，则该鳖臑的外接球的表面积为A ． 61πB ． 54πC ． 49πD ． 42π7. 个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A.12 B.24 C.36 D.48⎧x - y ≥ 0,⎪y -1 8. 已知实数 x , y 满足⎨x ≤ 3 - y , 若z = x + 3y 的最小值为-8 ，则 x - 6 的取值范围为⎩A ． ⎡- 1 ,3⎤B ． ⎛-∞, - 1 ⎤ ⋃ [3, +∞ )⎣⎢ 9 ⎥⎦ 9 ⎦⎥C ． ⎡- 1 ,3⎤D ． ⎛ -∞, - 1 ⎤ ⋃ [3, +∞ )⎣⎢ 10 ⎥⎦ 10 ⎦⎥9. 如图是一个组合体的三视图，则该几何体的表面积为A ． 8 + (1+ 5)πB ．10 + (1+ 5 )πC ．12 + (1+ 5)πD ．12 + (2 + 5)π13 13 322ln ex+222NRRQ331 0．已知函数f (x)=M sin (ωx +ϕ)(M > 0,ω> 0, 0 <ϕ<π)的部分图像如图所示，⎛π⎫⎛3π⎫其中A -2, 2⎪，B2, -2⎪分别是函数图像的最高点和最低点，则函数f (x )在区间⎝⎭⎝⎭[-6π, -4π]上的最值之和为A．0 B．-2 +C．2 - D.211.已知函数f (x)=+ 2x -x 2x(e 为自然对数的底数)，则函数f (x)的大致图像为12.已知椭圆C :x y=1(a >b > 0 )的离心率为e，点R(2，1)在椭圆内部，过点Ra b作两条直线l1,l2与椭圆 C 分别交于点M，P 和点N，Q，且则椭圆C 的离心率为=.若kMN=-1，21A．B．4 2C．D．2 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．已知⎛2x2 +⎝a ⎫6⎪⎭(a < 0 )的展开式中的常数项为4860，则展开式中所有项的系数之和为．14.把数列{2n}的各项依次排列，如图所示，则第11行的第15个数为．2MRRP2x(1615. ． 已知点 A(4,3), B (m ,12 ),O 为坐标原点， 且 OB 在OA 上的投影为OA 与OB 的夹角的余弦值为 ．， 则向量516. 已知在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ,b , c ，且A =π, 1 + 63 )sin C = 2sin B ， ∆ABC 的面积为1+ 23，则∆ABC 的周长为 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共 60 分． 17．(12 分)已知数列{a } 的前 n 项和 S 满足 S = 2n 2 + 2n ，数列{b }满足a = b 1 +b 2 +nb 3+ ⋅⋅⋅ + bn . nnnn4 +1 42 +143 +1 4n +1(1) 求数列{a n } 和{b n } 的通项公式，(2) 若c =a nb n- n ，求数列{c } 的前 n 项和T ．n16n n18．(12 分)近年来随着共享经济的发展以及商机的不断涌现，共享理念得到了广泛的普及，共享单车、共享篮球、共享充电宝等层出不穷．伴随着共享经济的不断扩大，国内企业纷纷跳入共享的大海，希望能够分一杯羹．某公司为了能够扩大经营，增加公司的年利润，复制其他公司成功的共享模式，特派遣该公司部分男女职工到国外对共享经济进行研究与学习，该公司为了解不同性别的职工对被外派工作的意愿，按分层抽样的方式从男职工和女职工中随机抽取 200 名职工进行调查，得到数据如下表：(1) 在参加调查的 200 名职工中随机抽取 1 名，求抽到愿意被外派的职工的概率． (2) 外派之前，公司考虑对 3 名职工进行额外的培训，且参加完培训后每名职工都必须参3 2853加结业考试．每个培训后的职工通过考试的概率为44，若通过考试，则职工结业，否则进行补考，补考通过的概率为5，若补考未通过，则职工此次培训不能结业．记每人参加培训的费用为1 000 元，首次考试的费用为100 元，补考的费用为200 元，假设每名职工是否通过考试相互独立，记X 为任意2 名职工参加培训的总费用(总费用包括培训费用、首次考试费用以及补考费用)，若E(X)>2500 元，则成本太高，不安排培训；若E(X)≤2500 元，则可以安排培训．请通过计算说明是否对被派遣的3 名职工进行额外的培训．19．(12 分)已知四边形ABCD 为等腰梯形，分别过点A,C作AE ⊥平面ABCD，连接相关线段，所得图形如图所示，其中AD=AB=BC=AE=CF=1，∠BAD=120°，G 是线段EF 上的点．(1)若点M 在线段CD 上，且CM=1，证明：BM ⊥平面ACFE．(2)试确定点G 的位置，使得平面CGD 与平面BEF 所成角的余弦值为．9520．(12 分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点P(1 ，0)，点Q 在直线l1: x =-1 上，点M 满足MQ / /OP, MP PQ =MQ QP ，记点M 的轨迹为曲线E．(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l2 与曲线E 在x 轴上方的部分交于A，D 两点(A 在D 的左侧)，AB ⊥x 轴，垂足为B, DC ⊥x 轴，垂足为C，记S =S , S =S ，求S1 的取值范围．∆OAD 1 四边形ABCD 22S⎩ 221．(12 分)已知函数 f ( x ) = (m -1)ln x -mx 2 ．2(1) 若 m = 2 ，求函数 f ( x ) 的极值；1 (2) 若关于 x 的不等式围.-1- x - f ( x ) > 0在区间[1，+ ∞ ) 内恒成立，求实数m 的取值范m(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎧x = 1+ 2m ,(m 为参数)，以坐标原点 O 为1⎨y = -1+ m极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+ 2sin 2θ .(1) 求曲线C 1 的普通方程以及曲线C 2 的参数方程；(2) 已知点 P (1, -1)，曲线C 1 ，C 2 交于 M ，N 两点，求 PM+ PN的值．23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f ( x ) = x - a ．(1) 若关于 x 的不等式 f( x ) - x - 2 ≤ -6 有解，求实数 a 的取值范围；(2) 若关于 x 的不等式 f( x ) ≥ 1 的解集为 (-∞, 2]⋃[4, +∞) ， 且正实数 m ，n 满足3m + n = a , 求9m 2 + n 2 的最小值．。