综合测试题一、选择题（60分） 1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( )A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）（A ）38 （B ）37 （C ）35 （D ）34 3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）（A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e 2 （D ）e2-4. 已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a>b>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．b>c>a5. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确6. .在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,=（ ） A.2 B.2 C.10 D. 47、函数2()1x f x x =-（ ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减8.某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当6=n 时，该命题不成立 (B)当6=n 时，该命题成立 (C)当4=n 时，该命题成立 (D)当4=n 时，该命题不成立 9、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n n n n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）（A ）增加了一项)1(21+k （B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ； （D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ；10．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能11．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[2π3，π)C ．[2π3，π)D ．[0，π2)∪(π2，2π3]12．(2010·江西理，5)等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（20分）13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为： 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的曲边形的面积为________________ 15．(2010·福建文，16)观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.16. 函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题（共6题，70分）17．（10分）设函数f (x )＝－a x 2＋1＋x ＋a ，x ∈(0,1]，a ∈R *.(1)若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围； (2)求f (x )在(0,1]上的最大值．19、(12分)如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

20. （12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x ≤30 ）的平方成正比。

已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？21.（12分）、已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行． (1）求()f x 的解析式；(2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间及极值。

（3）求函数()()4g x xf x x =+在[]2,0∈x 的最值。

21、（14分）、设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； （3）证明：当m>n>0时，(1)(1)nmm n +<+. 22（14分）、数列{a n }的通项a n 21)1(n n ⋅-=+，观察以下规律：a 1 = 1＝1a 1+a 2 = 1－4＝－3＝－（1＋2） a 1+a 2+a 3 = 1－4＋9＝6＝＋（1＋2＋3） ……试写出求数列{a n }的前n 项和S n 的公式，并用数学归纳法证明。

高中数学选修2-2复习题答案一、选择题（每题5分）9. 22211121123(1)1n n n +++++<++(n ∈N *) ；10. 1i - ； 11. 13； 12. 1＋a ＋a 2 ； 13. (－∞，－1]； 14. 4448412C C C13、【解析】 ∵g (x )在区间－∞，a3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝⎛⎭⎫－∞，a3上的函数值非正， 由于a <0，对称轴x ＝2(a －1)3a >0，故只需g ′⎝⎛⎭⎫a 3＝a 33＋43a (1－a )－3a ≤0，注意到a <0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)．故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．三、解答题15.解：（1）当2918m m -+＝0即m ＝3或m ＝6时，z 为实数； …………………………3分 当28150m m -+=，29180m m -+≠即m ＝5时，z 为纯虚数.…………………………6分（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩即3<m<5时，对应点在第三象限. ……………12分16.解：记一星期多卖商品2kx 件，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+又有条件可知2242k =•解得6k =所以[]32()61264329072,0,30f x x x x x =-+-+∈（2）由（1）得/2()1825243218(2)(12)f x x x x x =-+-=--- 所以()f x 在（0，2）递减（2，12）递增（12，30）递减所以12x =时()f x 取极大值，又(0)9072,(12)11664f f ==所以定价30-12=18（元）能使一个星期的商品销售利润最大。

17、(1)由,可得.由题设可得 即解得,.所以. (2)由题意得,所以.令,得,.4/27所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。

在有极大值4/27。

（3）由2)2(,0)0(==g g 及（2），所以函数的最大值为2，最小值为0。

18、解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=， (300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为η200 250 300 P0.4 0.4 0.22000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． 19、20、解：通过观察，猜想S n = a 1+a 2+a 3+……+a n ＝(-1)n+1（1＋2＋3+……+n ）=2)1()1(1+⋅-+n n n …………4分下面用数学归纳法给予证明：（1）当n ＝1时，S 1= a 1＝1，而12)11(1)1(2)1()1(21=+-=+⋅-+n n n ∴当n ＝1时，猜想成立 ……………………………………6分 （2）假设当n=k(k≥1，*N k ∈)时，猜想成立，即S k =2)1()1(1+⋅-+k k k ………………………………7分那么S k ＋1=S k ＋a k+1=2)1()1(1+⋅-+k k k ＋21)1()1()1(+⋅-++k k ……………9分 =)]1(2)1[(2)1()1(12++-+⋅--+k k k k ………………………11分 =2]1)1)[(1()1()2(2)1()1(1)1(2+++⋅-=++⋅-+++k k k k k k ……12分 这就是说当n=k+1时，猜想也成立. ………………………13分 根据(1)(2)可知，对任意*N n ∈猜想都成立。