2013----2014学年第一次高考诊断试题
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．i 是虚数单位，复数2
31i i -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
A ．-3－4i
B ．-3 +4i
C ．3－4i
D ．3+4i
2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2
－x ，则f （1）= A ．3 B ．-1 C ．1 D ．-3 3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？
4．设sin （4π
θ+）=1
3，sin2θ= A ．79- B ．1
9-
D ．19 D ．7
9
5．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是
A ．
15
64
B ．
15
128
C ．
24
125
D ．
48125
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．
23π B ．83
π
-
C ．8－23
π
D ．82π-
7．（28展开式中不含．．x 4
项的系数的和为
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
8．已知二次函数y= f （x ）的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面
积为
A ．
25
π B ．
43
C ．
32
D ．
2
π 9．已知点F 是双曲线22
2x y a b
-=1（a>0，b>0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取
值范围是 A ．（1,+∞）
B ．（1,2）
C ．（
D ．（
10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a ⊙b= mq －np ，
下面说法错误的是
A ．若a 与b 共线，则a ⊙b =0
B ．a ⊙b =b ⊙a
C ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a ⊙b ）
D ．（a ⊙b ）2+（a·b ）2= |a|2|b|2 11．已知函数f （x ）=sin （2x+ϕ），其中ϕ为实数，若f （x ）≤()6f π对x ∈R 恒成立，且()()2
f f π
π>，
则f （x ）的单调递增区间是
A ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．,()2k k k Z πππ⎡
⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．,()2k k k Z π
ππ⎡
⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
12．已知函数f （x ）=|1|,010,
16,10.2
gx x x x <≤⎧⎪
⎨-+>⎪⎩若a ，b ，c 互不相等，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取
值范围是
A ． （1,10）
B ． （5,6）
C ． （10,12）
D ． （20,24）
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=
，则
FA FB FC ++=。
14．已知变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z= ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小
值，则a 的取值范围是 。
15．直三棱柱AB C －A 1B 1C l 的各顶点都在同一球面上，若AB =AC= AA 1=2，∠BAC=120o ， 则此球的表面积等于 ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
－c ）cosA=acosC ，则cosA= 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1
2
，a n ，S n 是等差数列． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若2
1()2
n b
n a =，设n
n n
b c a =
，求数列{c n }的前n 项和T n 。
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1=AB =2． （I ）求证：AB 1∥平面BC 1D; （Ⅱ）若四棱锥B －AA 1C 1D 的体积为3，求二面角C －BC l －D 的正切值．
19．（本小题满分12分）
为迎接2012年伦敦奥运会，在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名
运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（I ）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个
得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率； （Ⅱ）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、
乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望。
20．（本小题满分12分） （本小题满分12分）
已知点F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a>b>0）的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，且
|F 1F 2 | =2，∠F 1PF 2=
3π，△F 1 PF 2 （I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点M 的坐标为（
5
4
，0），过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，对于任意的k ∈R ，MA ·MB
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
21．（本题满分12分）
已知函数f（x）= alnx－bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=－3x +21n2 +2．（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m =0在[1
e
，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（e为自然对数的底
数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）－kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1<x2），AB的中点为C（x O，0），求证：g（x）在x O处的导数g′（x O）≠0．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4－1；几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB =AC，延长BC到点D，使CD =AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与AC交于点F。
（I）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（Ⅱ）若AE =6，BE =8，求EF的长。
23．（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x +1|+|x－2|－m）．（I）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与菇轴的正半轴重合，且长度单位相
同。
圆C的参数方程为
12cos
(
12sin
x
y
α
α
α
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
为参数），点Q的极坐标为（2，
7
4
π
）．
（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值。