第二章数学模型与定解问题2.1典型方程三类基本的二阶偏微分方程是: (1)波动方程0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u(2)热传导方程0)(=++-zz yy xx t u u u k u (3)拉普拉斯方程0=++zz yy xx u u u许多数学物理问题都可归结为解偏微分方程的问题,特别是可归结为解上面所列举的三个偏微分方程的问题.我们将开始研究这些方程,首先仔细考察表示这些物理问题的数学模型.2.2弦的振动在数学物理中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题.由于它较简单, 且经常出现在许多数学物理的分支中,所以在偏微分方程理论中把它作为一个典型的例子.让我们考察一长为 l 的两端固定的拉紧的弦.我们的问题是要确定弦的运动方程,用它来描述在给定初始扰动后任一时刻t 的弦的位移u(x,t).为了能.得出一个较简单的方程,我们作下面的一些假设:(1)弦是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向;(2)弦的每一段都不伸长,因此根据胡克(Hooke)定律,张力是常数; (3)弦的重量与其张力相比很小; (4)弦的偏移与其长度相比很小;(5)位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小;(6)弦只有横振动. 我们考察弦上一微小元素.设T 是如图2.1所示的两端点上的张力.作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力是:αβsin sin T T -图（Figure ）2.1根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此tt su T T ∆=-ραβsin sin (2.2.1) 其中ρ是弦的密度,s ∆是这一小段位移后的弦的弧长.因为位移后的弦的斜率很小,所以有 x s ∆≈∆ 因为角α和β都很小,所以ααtan sin ≈, ββtan sin ≈ 于是等式(2.2.1)变成tt u Tx∆=-ραβtan tan (2.2.2)但是,由微积分学我们知道,在时刻t 有x x u )(tan ≈α及x x x u ∆+≈)(tan β 于是等式(2.2.2)可以写成tt x x x x x u tu u x ρ=-∆∆+])()([1 令x ∆趋于零取极限,得xx tt u a u 2= (2.2.3)其中ρTa =2。
方程(2.2.3)称为一维波动方程.如果在弦的每单位长度上有外力F 作用着,方程(2.2.3)具有下列形式:f u a u xx tt +=2(2.2.4)Where ρFf =,而外力可以是压力、重力、阻力以及其他力等2.3膜的振动膜振动方程在数学物理的许多问题中出现.在我们导出膜振动方程前,像在弦振动的情形中一样,我们作下列一些简化的假设: （1） 膜是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻它的张力 总是在膜的切平面内;(2) 膜的每一块元素都没有伸张变形, 因此根据胡克定律, 张力是常数;(3) 膜的重量与膜的张力相比很小; (4)膜的偏移与膜的最小直径相比很小;(5)位移后的膜在任一点上的斜率与1相比很小; (6)膜只有横振动.我们考察膜的一块微小元素.因为偏移和斜率都很小,这块元素的面积近似地等于y x ∆∆.如果T 是每单位长度上的张力,则作用在这块元素各边上的力是x T ∆和y T ∆(见图2.2).图（Figure ）2.2作用在膜的这块元素上的垂直方向的力是γδαβsin sin sin sin y T y T x T x T ∆-∆+∆-∆因为斜率很小,所以上述这些角的正弦都分别近似地等于它们的正切.于是合力变为 )sin (sin )sin (sin γδαβ-∆+-∆y T x T 根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此tt Au y T x T ∆=-∆+-∆ργδαβ)sin (sin )sin (sin , (2:3.1)其中ρ是每单位面积膜的质量, y x A ∆∆≈∆是这块元素的面积,tt u 在所考察的区域中的某一点上取值.但由微积分学可知),(tan 1y x u y ≈α, ),(tan 2y y x u y ∆+≈β，),(tan 1y x u x ≈δ ),(tan 2y x x u x ∆+≈γ其中1x 与2x 是x 在x 和x x ∆+之间的值1y 与2y 是y 在y 和y y ∆+之间的值.把这些值代人式(2.3.1),得tt x x y y yu x y x u y x x u y T y x u y y x u x T ∆∆=-∆+∆+-∆+∆ρ)],(),([)],(),([1212把上式除以y x ∆∆ρ,得tt x x y y u xy x u x x u y y x u y y x u T =∆-∆++∆-∆+]),()(),(),([112ρ (2.3.2) 令y x ∆∆,都趋于零取极限,得到0)(2=+-yy xx tt u u a u (2.3.3)其中 ρTa =2. 这个方程称为二维波动方程.如果在膜的每单位面积上有外力F 作用着,方程(2.3.3)就具有下列形式:f u u a u yy xx tt =+-)(2 (2.3.4)其中ρFf =。
§ 1方程的导出。
定解条件 的习题1.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u 帜,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来 位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明u(x,t)满足方程)())((xu E x t u x t ∂∂∂∂=∂∂∂∂ρ 其中ρ为杆的密度, E 为杨氏模量。
证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为x 与x x ∆+。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长， 在时刻t 这段杆两端的坐标分别为:),(t x u x +； ),(t x x u x x ∆++∆+x →),(t x u x +x x ∆+→),(t x x u x x ∆++∆+故 x ∆变形后的长度为：='∆x ),(t x x u x x ∆++∆+)]([x u x +- =)(),(x u t x x u x -∆++∆ 其相对伸长等于xt x u t x x u x x x ∆-∆+=∆∆-'∆),(),( 令x ∆→0,取极限得在点x 的相对伸长为)(x u x 。
由虎克定律,张力T(x,t)等于, )()(),(x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量（弹性模量）。
设杆的横截面面积为)(x S ，则作用在一段杆),(x x x ∆+ 两端的力分别为 )()()(x u x S x E x ； )()()(x x u x x S x x E x ∆+∆+∆+于是由牛顿第二定律得运动方程),()()()()()()()()(t x u x x S x x u x S x E x x u x x S x x E tt x x ⋅∆⋅=-∆+∆+∆+ρ 利用微分中值定理,消去x ∆,再令x ∆→0得 ))()()((),()()(x u x S x E xt x u x S x x tt ∂∂=ρ 若 )(x S =常量, 则得))()((),()(x u x E xt x u x x tt ∂∂=ρ 即 )())((xuE x t u x t ∂∂∂∂=∂∂∂∂ρ即得所证。
2.在杆纵向振动时,假设(1)端点固定, (2)端点自由, (3)端点固定在弹性支承上,试分别导出 这三种情况下所对应的边界条件。
解: (1)杆的两端被固定在x=O,x=1两点则相应的边界条件为u(O,t) = O,u(l,t) = O.θu (2)若x =1为自由端,贝IJ 杆在x =1的张力T(l,t) = E(x)一|ω等于零,因此相应的边界条件为 a 比品ι 月..证明：在圆锥形枢轴内取出],[x x x ∆+一小段来研究。
端面丛向位移为),(t x u [,][(,),(,)]x x x u x t u x x t +∆→+∆ 在时刻t，端面的相对延伸为),(t x u 与),(t x x u ∆+根据胡克定律，B 段左边的A 段及右边的C 段通过端面对B 对的作用力分别为),(t x ESux-及(,)x ESu x x t +∆（该力沿轴向指向平衡位置），由牛顿第二定律有合力为：),(t x x ESu x ∆+),(t x ESu x -x Su tt ∆=ρ又因为 2222[()tan ]()()S r h x h x tan ππαπα==-=-所以 2[()tan ](,)x E h x x u x x t πα--∆+∆),(]tan )[(2t x u x h E x απ--x u x h tt ∆-=2]tan )[(αρπttxu x h xu x h E 22)()(-=∂-∂ρππ ttxu x h xu x h E 22)()(-=∂-∂ρ 即：2222222222[(1)](1)1[(1)](1)E ()x u x u E x h x h t x u x u x h x a h t a ρρ∂∂∂-=-∂∂∂∂∂∂-=-∂∂∂=令。
4、有一长为l 的均匀而柔软的细线,上端(x= 0)固定,在自身重力的作用下,此线处于铅直的平衡位置.试导出此弦相对于竖直线的微小横振动方程. 解将弦振动模型一般化.如图1.1所示建立坐标系,弦密度是位茸的函数,记为 Il',% I,弦的张力亦是位置的函数,记为T(功,在U 的正方向、单位长度上的外力密度记为 .~3 ,%, t).。