高等数学综合自测题(I) 一、 选择题1、若3x xy z +=，则=∂∂+∂∂yz x z （ ）.A ．22x y x ++ B.23x y x ++ C. 232x y x ++ D.y x + 2、设积分区域D 是圆环:4122≤+≤y x ,则二重积分=+⎰⎰dxdy y x D22( ).A. ⎰⎰1220dr r d πθ B.⎰⎰420rdr d πθC.dr r d ⎰⎰21220πθ D.⎰⎰2120rdr d πθ3、曲面积分⎰⎰∑ds 表示的是( )A.曲面∑的面积B.曲面∑在xOy 面上投影D 的面积C.不是∑的面积,也不是投影D 的面积D.可能不是∑的面积4、若级数∑∞=1n n a 收敛，则级数（ ）A ．∑∞=1n n a 收敛 B.n n n a ∑∞=-1)1(收敛C.11+∞=∑n n n a a 收敛 D.∑∞=++112n n n a a 收敛5、设有直线182511:1+=--=-x y x l 与直线⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l ,则直线1l 与2l 的夹角为( )A.6πB.4πC.3πD.2π二、填空题 1、函数)1ln(4222y x yx z ---=的定义域为 ;2、直线331124-=+=-z y x 与xOy 面的交点的坐标为_________;3、曲面z xzy yz x 823222-=+上点（1，2，-1）处的切平面方程为_____.4、级数∑∞=++12)1ln()1(2n nn n n x 的收敛半径为 ;5、设D 是中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域，则dxdy e Dyx⎰⎰--22=6、的通解为微分方程0'''''2)4(=+-y y y三、解答下列各题1、求过点(1,0,-1)且与直线l :⎩⎨⎧=+-+=+-052302z y x z y x 垂直的平面∏的方程2、设y x xy z ++=)1(，求.yz ∂∂3、设),(22xye y xf z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求.2yx z ∂∂∂4、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值. {}⎰⎰<+=+Dyx y x y x D dxdy e1||||),(,.5其中计算6、计算dy y x dx xy x L)()2(422⎰+++，其中L 为由点O(0,0)到B(1,1)的曲线弧2sinxy π=.7、将函数231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数.8、计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.9、 .cos '2''2的通解求微分方程x y y =-四、在曲面2242yx z ++=上求一点，使它到平面132=+-z y x 的距离最近.()8'五、设圆锥底半径为a ，高为h ，质量分布均匀，其质量为M ，在圆锥体顶点处有一单位质量的质点，求圆锥对此质点的引力.六、证明：210110)(21)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰dx x f dy y f x f dx x，其中)(x f 在[]1,0上连续.高等数学综合测试题（II ）一、 填空题 1、 绕y 轴旋转而成的椭球面1323222=++z y x 的曲线是________. 2、 二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是 .3、设1:222≤++Ωz y x ,则=⎰⎰⎰Ωdv e z.4、设L 是星形线)0(323232>=+R R y x ,则曲线积分=+⎰ds y x L)(3434 .5、幂级数n n n x e 20∑∞=的收敛半径R= .6、的一个特解具有形式微分方程xxey y 2'''2=-二、 选择题1、已知|a|=2，|b|=3，|a-b|=7，则a ，b 的夹角为（ ） A ．21 B. -21 C.3πD.-3π2、=⎰⎰-x dy y x f dx 1010),(（ ）A.⎰⎰-110),(dx y x f dy x B.⎰⎰-x dx y x f dy 101),( C.⎰⎰11),(dx y x f dy D.⎰⎰-ydx y x f dy 101),(3、设Γ是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上参数t 从0到π的一段，则=+-+⎰Γdz x dy y x xydx 2)(（ ）A.π)1(212b a + B.)1(2b a +C. b a 2πD.)1(212b a +4、下列级数绝对收敛的是（ ）.A.nn n 1)1(11∑∞=-- B.nn n ln 1)1(11∑∞=--C.)!12(1)1(11--∑∞=-n n n D.)1()1(11n n n n -+-∑∞=-5、设曲面∑上半球面：222z y x ++=)0(2≥z R ，曲面1∑是∑在第一卦限中的部分，则有（ ） A. ⎰⎰⎰⎰∑∑=14xds xdsB.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xds ydsC.⎰⎰⎰⎰∑∑=142xds dsD.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzds xyzds三、解答下列各题1、设一平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求平面方程.2、),(2xy y x f z =，f 具有二阶连续偏导数，求22xz ∂∂.3、在椭球面1222222=++z y x 上求一点，使函数222),,(z y x z y x f ++=沿A （1，1，1）到B （2，0，1）的方向导数有最大值.程。

相切的平面，求平面方作与球面过直线⎩⎨⎧=++=-=-+140401032:.4222z y x x z y L5、 计算dxdy eDy x ⎰⎰),max(22，其中D {}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x .6、 计算,)()()(232323d x d y ay z dzdx ax y dydz az x+++++⎰⎰∑，其中∑是222y x R z --=的上侧.7. 将231)(2+-=x x x f 展开成x-1的幂级数.8、 求幂级数12)1(20+-∑∞=n xnn n的和函数.02)3(922=+-xydx dy x y 、解微分方程四、 在过点P （1，3，4）的所有平面中，求一平面，使之与三个坐标面所围四面体的体积最小.五、 求曲面2222a z y x =++在圆柱)0(22>=+a ax y x 内的那部分的面积.六、证明函数ru 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu yu xu ，其中222zy x r ++=.高等数学综合测试题（III ）一、 填空题 1、 若a=（1，2，3），b=（3，0，-1），则a ⨯b= . 2、yx z tanln =,则xz ∂∂=3、 平面1=++z y x 与三个坐标面所围成的立体体积为4、 二次积分dy y x dx x ax a )(2202202+⎰⎰-的极坐标形式为 .5、设L是A(0,2)到B(1,1)的直线段,则曲线积分dy y x y dx y x x L)1ln()1ln(2222-++-+⎰=________________________.二、 选择题 1、二重极限422limyx xyy x +→→=（ ）A. 0B. 1C. 21 D.不存在2、设D 为0(222>≤+a a y x 为常数），π=--⎰⎰dxdy y x a D222，则a=（ ）A.1B.321 C.343 D.3233、设有直线L ⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x 及平面0224:=-+-∏z y x ，则直线L （ ）A. 平行于∏B.在∏上C. 垂直于 ∏D.与∏斜交4、设nn n x a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则它在x=2处（ ）A.发散B.绝对收敛C. 条件收敛D.敛散性与n a 有关 5、设∑是锥面22yx z +=被平面z=1所截的有限部分的外侧，则⎰⎰∑-++dxdy z z ydzdx xdydz )2(2=（ ）A. π23-； B. 0 ； C. 2π-； D.π23的为任意常数）必是方程，（程的解，则是某个二阶齐次线性方、设21221121,6c c y c y c y y + （ ）A. 通解B. 特解C. 解D. 全部解 三、解答下列各题1、求过点M （2，1，3）且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.的全微分求32.2zxy eu =；3、设),(yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.4、计算σd xx D⎰⎰sin ，其中D 是由直线1,==x x y 和0=y 所围成的区域.5、计算⎰Γ+-yzdz xzdy ydx 3，Γ是圆周z y x 222=+及2=z ，若从z 轴正方向看去，圆周为逆时针方向.6、 求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的和函数.7、 计算曲面积分ds y x ⎰⎰∑+2)(，其中∑为立体122≤≤+z yx 的边界曲面.8、 计算曲线积分dy xe y dx e xy I yy )(cos )12(--+=⎰Γ，其中Γ是A （-1，1）沿2x y =到O （0，0），再沿0=y 至B （2，0）的路径.112',9+=+-x x y y 、解微分方程四、求内接于椭球面1222222=++cz by ax 的体积为最大的长方体，在第一卦限的顶点坐标（设长方体的各面平行与相应的坐标面.五、 求曲面22222az y x ≤++与22yx z +≥所围成的立体体积.六、证明⎰⎰⎰-=a y adx x f x a dx x f dy 00)()()(.。