2019年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（5月份）一．选择题（共10小题）1．tan30°＝（）A．B．C．D．12．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（）A．971斤B．129斤C．97.1斤D．29斤3．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥4．如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠DCE＝75°，则∠ACB的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π6．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且AC＝2，OA＝OB，若点C表示的数为x，则点B表示的数为（）A．﹣（x+2）B．﹣（x﹣2）C．x+2 D．x﹣27．甲、乙两位同学攀登一座450米高的山，甲同学攀登速度比乙同学快1米/分钟，乙同学比甲同学迟15分钟到达顶峰．设甲同学攀登速度为x米/分，则可列方程（）A．B．C．D．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜29．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝120°，BC＝CD＝a，则AB﹣AD＝（）A．B．C．a D．10．关于x的二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次数学研究课上得到以下结论：①当k＝1时，二次函数图象顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象对称轴在直线x＝左侧；③当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象在x轴上截得线段长小于；④当k＞0时，点M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象上一点，若＜x0＜1，则y0＜0；则以上研究正确的是（）A．①③B．②③④C．①④D．①③④二．填空题（共6小题）11．分解因式：a2﹣ab＝．12．从﹣，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为．13．已知x＝，y＝﹣，则x2+xy+y2＝．14．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y 轴于点D．直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，当平移到经过点B时，直线CD与x轴交点的横坐标是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AC，BD交于点O．以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形BEFG，点A，D，C的对应点分别为G，F，E，连接OG，OF，则在旋转过程中△OGF的面积最大值为．三．解答题（共7小题）17．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？设合伙人为x人，羊价为y钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：乙同学：请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．18．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；②以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；③连接BD，BC．根据以上作法完成以下问题：（1）求∠CBD的度数；（2）试说明：sin2A+sin2D＝1的理由．19．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为：86分及以上为优秀；76分﹣85分为良好；60分﹣75分为及格；59分及以下为不及格．某校从九年级学生随机抽取了部分学生进行体质测试，得分情况如图：完成以下问题：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比；（2）小明按以下方法计算出抽取的学生平均分：（90+78+66+42）÷4＝69．根据所学统计学知识判断小明的算法是否正确．若不正确，写出正确的算式（不需结果）．20．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C，D两点，与斜边AB交于点E，连接BO，ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于点G，连接DF（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝，求EF的长．21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，设AC＝x，BC＝y （1）求y与x之间的函数关系式；（2）令x+y＝m，①当m＝12时，求△ABC的周长；②求m的最小值．22．如图，P（m，n）是抛物线y＝﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝．（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．23．某次数学研究课上师生共同研究以下问题，请帮助完成：特殊研究：如图1，在正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE．（1）若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分．（2）求证：（BE+DF）2+EF2＝2AB2一般应用：如图2，若AB＝4，点P为正方形内部一点，且∠DPB＝135°，BP+2PD＝4，求PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．tan30°＝（）A．B．C．D．1【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：tan30°＝，故选：A．2．黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，请估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（）A．971斤B．129斤C．97.1斤D．29斤【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有多少，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝29斤，故选：D．3．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．故选：C．4．如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠DCE＝75°，则∠ACB的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】直接利用平行线的性质结合平角的定义得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°，∴∠BCD＝35°，∵∠DCE＝75°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选：C．5．如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据弧长的公式计算即可．【解答】解：连接OA、OC，如图所示：则OA＝OA＝OB＝3，∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴劣弧AC的长为＝2π；故选：B．6．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且AC＝2，OA＝OB，若点C表示的数为x，则点B表示的数为（）A．﹣（x+2）B．﹣（x﹣2）C．x+2 D．x﹣2【分析】直接利用AC＝2，点C表示的数为x，得出AO的长，进而得出答案．【解答】解：∵AC＝2，点C表示的数为x，∴AO＝2+（﹣x）＝2﹣x＝﹣（x﹣2），∵OA＝OB，∴点B表示的数为：﹣（x﹣2）．故选：B．7．甲、乙两位同学攀登一座450米高的山，甲同学攀登速度比乙同学快1米/分钟，乙同学比甲同学迟15分钟到达顶峰．设甲同学攀登速度为x米/分，则可列方程（）A．B．C．D．【分析】设甲同学攀登速度为x米分，根据乙同学比甲同学迟15分钟到达顶峰，列出方程即可．【解答】解：设甲同学攀登速度为x米/分，可得：，故选：B．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜2【分析】将点（）代入y1＝kx+1，得出m＝k+1，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象过点（），∴m＝k+1，∴m＝k+2，∴不等式组即为，解得＜x＜2．故选：A．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝120°，BC＝CD＝a，则AB﹣AD＝（）A．B．C．a D．【分析】如图，连接AC，作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD的延长线于E．证明△CED≌△CFB （AAS），Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图，连接AC，作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD的延长线于E．∵∠B＝60°，∠ADC＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠E+∠CFA＝180°，∴∠EAF+∠ECF＝180°，∴∠ECF＝∠DCB，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠E＝∠CFB＝90°，CD＝CB，∴△CED≌△CFB（AAS），∴CE＝CF，DE＝BF＝BC•cos60°＝a，∵AC＝AC，CE＝CF，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB﹣AD＝AF+BF﹣（AE﹣DE）＝2DE＝a，故选：C．10．关于x的二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0），在某次数学研究课上得到以下结论：①当k＝1时，二次函数图象顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象对称轴在直线x＝左侧；③当k＜0时，二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象在x轴上截得线段长小于；④当k＞0时，点M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k（k≠0）图象上一点，若＜x0＜1，则y0＜0；则以上研究正确的是（）A．①③B．②③④C．①④D．①③④【分析】①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，对称轴在x＝的右侧；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，，，则有|x1﹣x2|＝＝小于；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，y0＜0；【解答】解：①当k＝1时y＝2x2﹣2，则顶点为（0，﹣2）；①正确；②当k＜0时y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k的对称轴x＝＝＞，∴x＞，对称轴在x＝的右侧，∴②错误；③当k＜0时，y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k，△＝（3k+1）2≥0，，，∴|x1﹣x2|＝＝＜，∴③正确；④M（x0，y0）是二次函数y＝2kx2+（1﹣k）x﹣1﹣k上的点，∴y0＝2kx02+（1﹣k）x0﹣1﹣k＝2k（x0﹣）2﹣，∵＜x0＜1，k＞0，∴当＜＜1时，y的最小值为﹣＜0，即y0＜0；当＞1时，当x＝1时有y＝2k﹣2，当x＝时，y＝∴＞y0＞2k﹣2，∴y0＜0；当＜时，＜y0＜2k﹣2，∴y0＜0；综上所述，y0＜0；④正确；故选：D．二．填空题（共6小题）11．分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．12．从﹣，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为．【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵﹣，0，，π，3.5这五个数中，无理数有2个，∴随机抽取一个，则抽到无理数的概率是，故答案为．13．已知x＝，y＝﹣，则x2+xy+y2＝．【分析】首先把x2+xy+y2化成（x+y）2﹣xy，然后把x＝，y＝﹣代入，求出算式的值是多少即可．【解答】解：x＝，y＝﹣时，x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（﹣）2﹣×（﹣）＝1+＝故答案为：．14．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．【分析】连接AB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：连接AB，∵BD⊥AO，∴BE＝ED＝BD＝4，由勾股定理得，AB＝＝2，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，又CO＝OA，∴OF＝AB＝（cm），故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m）且与y轴交于点B，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y 轴于点D．直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，当平移到经过点B时，直线CD与x轴交点的横坐标是﹣．【分析】先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y＝2x+b，然后把C点坐标代入求出b 即可得到直线CD的解析式；先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，然后求出直线y＝2x+3与x轴的交点坐标．【解答】解：把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣4；当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，当y＝0时，2x+3＝0，解得x＝﹣，则直线y＝2x+3与x轴的交点坐标为（﹣，0），所以当平移到经过点B时，直线CD与x轴交点的横坐标是﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AC，BD交于点O．以点B为中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形BEFG，点A，D，C的对应点分别为G，F，E，连接OG，OF，则在旋转过程中△OGF的面积最大值为．【分析】利用矩形的性质及勾股定理求出BD的长，进一步得到OB的长，顺时针旋转矩形ABCD过程中，点F的轨迹为以点B为圆心，BD为半径的圆，延长FG交⊙B于M，则BG垂直平分FM，过点O作OH⊥FM于点H，当OH取最大值时，S△OFG有最大值，当矩形ABCD 旋转到点O，B，G在同一条直线上时，点H与点G重合，此时OH有最大值，求出OG，OH的长度，可直接由三角形的面积公式求出△OGF的面积最大值．【解答】解：∵ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝5，∴OB＝BD＝∵顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形BEFG，∴BG＝AB＝4，GF＝AD＝3，∠BGF＝90°，如图1，顺时针旋转矩形ABCD过程中，点F的轨迹为以点B为圆心，BD为半径的圆，延长FG交⊙B于M，则BG垂直平分FM，过点O作OH⊥FM于点H，则S△OFG＝FG•OH，∴当OH取最大值时，S△OFG有最大值，如图2，当矩形ABCD旋转到点O，B，G在同一条直线上时，点H与点G重合，此时OH 有最大值，此时OH＝OG＝OB+BH＝BD+BH＝+4＝，∴S△OFG＝FG•OH＝×3×＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）17．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？设合伙人为x人，羊价为y钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学：乙同学：请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答．【分析】设合伙人为x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设合伙人为x人，羊价为y钱，依题意，得：，∴甲同学列的方程组正确，解该方程组，得：．答：合伙人为21人，羊价为150钱．18．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：①作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；②以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；③连接BD，BC．根据以上作法完成以下问题：（1）求∠CBD的度数；（2）试说明：sin2A+sin2D＝1的理由．【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，推出∠ACB＝60°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．（2）利用特殊角的三角函数值解决问题即可．【解答】解：（1）由作图可知：AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵CD＝CB，∴∠D＝∠CBD，∵∠ACB＝∠D+∠CBD，∴∠CBD＝∠D＝30°．（2）∵∠A＝60°，∠D＝30°，∴sin2A＝sin260°＝（）2＝，sin2D＝sin230°＝，∴sin2A+sin2D＝119．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为：86分及以上为优秀；76分﹣85分为良好；60分﹣75分为及格；59分及以下为不及格．某校从九年级学生随机抽取了部分学生进行体质测试，得分情况如图：完成以下问题：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比4% ；（2）小明按以下方法计算出抽取的学生平均分：（90+78+66+42）÷4＝69．根据所学统计学知识判断小明的算法是否正确．若不正确，写出正确的算式（不需结果）．【分析】（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比1﹣18%﹣26%﹣52%＝4%；（2）不正确.90×18%+78×26%+66×52%+42×4%．【解答】解（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比1﹣18%﹣26%﹣52%＝4%，故答案为4%；（2）不正确.90×18%+78×26%+66×52%+42×4%．20．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C，D两点，与斜边AB交于点E，连接BO，ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于点G，连接DF（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝，求EF的长．【分析】（1）连接OE，证OE⊥AB即可．通过证明△BOC≌△BOE得证；（2）根据垂径定理，EF＝2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED＝90°，∠ECD＝∠F．CD＝10．根据三角函数可求EG得解．【解答】（1）证明：连接OE．∵ED∥OB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠OED．又OE＝OD，∴∠2＝∠OED，∴∠1＝∠3．又OB＝OB，OE＝OC，∴△BCO≌△BEO．（SAS）∴∠BEO＝∠BCO＝90°，即OE⊥AB．∴AB是⊙O切线．（2）解：连接CE，∵∠F＝∠4，CD＝2•OC＝10；由于CD为⊙O的直径，∴在Rt△CDE中有：ED＝CD•sin∠4＝CD•sin∠DFE＝10×＝6．∴CE＝＝8．在Rt△CEG中，＝sin∠4，∴EG＝×8＝．根据垂径定理得：EF＝2EG＝．21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，设AC＝x，BC＝y （1）求y与x之间的函数关系式；（2）令x+y＝m，①当m＝12时，求△ABC的周长；②求m的最小值．【分析】（1）利用三角形的面积公式找出y与x之间的函数关系式；（2）①将x+y＝20，xy＝20代入＝中可求出斜边的长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；②由m＝x+y＝，结合（x﹣y）2≥0，xy＝20可得出m的取值范围，进而可得出m的最小值．【解答】解：（1）∵S△ABC＝AC•BC＝10，∴y＝（x＞0）．（2）①∵x+y＝20，xy＝20，∴＝＝6，∴C△ABC＝x+y+＝20+6．②m＝x+y＝＝．∵（x﹣y）2≥0，xy＝20，∴m＝≥＝4．∴m的最小值为4．22．如图，P（m，n）是抛物线y＝﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝ 1 ，PH＝ 1 ；当m＝4时，OP＝ 5 ，PH ＝ 5 ．（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．【分析】（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；（3）当OP＝OH，且m≠0时，由（2）可知△OPH是等边三角形，进而求得∠HOQ＝30°，解直角三角形即可求得．【解答】解：（1）当m＝0时，P（0，1），OP＝1，PH＝2﹣1＝1；当m＝4时，y＝﹣3，P（4，﹣3），OP＝＝5，PH＝2﹣（﹣3）＝5，故答案为：1，1，5，5；（2）猜想：OP＝PH，证明：PH交x轴与点Q，∵P在y＝﹣x2+1上，∴设P（m，﹣m2+1），PQ＝|﹣x2+1|，OQ＝|m|，∵△OPQ是直角三角形，∴OP＝＝＝＝m2+1，PH＝2﹣y p＝2+m2﹣1＝m2+1OP＝PH．（3）∵OP＝PH，∴当OP＝OH，三角形OPH是等边三角形，∵OQ⊥PH，∴∠HOQ＝30°，∴OQ＝HQ＝2，∴P点的横坐标为±2，∴P（2，﹣2）或（﹣2，﹣2）．23．某次数学研究课上师生共同研究以下问题，请帮助完成：特殊研究：如图1，在正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE．（1）若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分．（2）求证：（BE+DF）2+EF2＝2AB2一般应用：如图2，若AB＝4，点P为正方形内部一点，且∠DPB＝135°，BP+2PD＝4，求PD的长．【分析】特殊研究（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形EBFD 是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得结论；（2）如图2，作辅助线，构建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并与矩形的对边相等相结合可得结论；一般应用：如图4，类比如图2，构建矩形GEPD，设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝x 由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，则（x+y）2+x2＝（4）2，由已知得：BP+2PD＝4，则2x+2y＝4②，解①和②可得结论．【解答】解：特殊研究（1）证明：如图1，连接ED、BF，∵BE＝DF，BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴EF与BD互相平分；规律探究（2）如图2，过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，∴∠EGD＝∠GEF＝∠EFD＝90°，∴四边形GEFD是矩形，∴EF＝GD，EG＝DF，在Rt△BGD中，BG2+DG2＝BD2，∴（BE+EG）2+EF2＝BD2，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（2）一般应用如图3，过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE，过D作DG⊥BE，得矩形GEPD，∴GD＝EP，EG＝PD，设BE＝EG＝x，PD＝EG＝y，则BP＝x∵AB＝4，∴BD＝4，在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，∴（x+y）2+x2＝（4）2，∴2x2+2xy+y2＝32 ①，∵BP+2PD＝4，∴2x+2y＝4②，解①和②得：，∴PD＝2﹣2．。