活用乘法公式巧解题
乘法公式是整式乘法的重要内容之一，是解题的重要依据，包括平方差公式
()()22b a b a b a -=-+以及完全平方公式()2222b ab a b a +±=±.学好乘法公式,不仅为今后的学习打下坚实的基础,同时也能提高解题的速度和正确率.学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征，善于正向运用、逆向运用、变形运用，把握公式的内在联系.
一、正向应用
例1. 计算：2
(3)(3)(9)a a a +-+ 分析：
2(3)(3)(9)a a a +-+的前两项相结合可用平方差公式计算,其结果与2(9)a +相乘又可再用一次平方差公式.
解：222(3)(3)(9)(9)(9)a a a a a +-+=-+481a =-.
例2.试求2432(21)(21)(21)(21)1+++++的个位数字.
分析：经观察原式不符合公式的结构特征，不能运用公式进行计算，如果在原式的前面加一个因式(21)-，原式变形为：2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++，便可连续使用平方差公式.
解：2432(21)(21)(21)
(21)1+++++ =2432(21)(21)(21)(21)
(21)1-+++++ =22432(21)(21)(21)
(21)1-++++ =
=64(21)1-+=642=416(2)=1616
因此个位数字是6.
点评：解决这类题目时，先看式子的结构特征，如果不具备公式的特点就需要进行构造，在同一题目中，可以连续多次使用公式.
二、逆向应用
公式的逆向应用就是从左到右使用公式解决有关问题.
例3.计算：96
21-可以被60至70之间的哪两个整数整除?
分析：逆用两数的和乘以这两数的差的公式，将原式进行分解质因数.
解：9621-=4824848
(2)1(21)(21)-=-+
=482424(21)(21)(21)++-
=48241212(21)(21)(21)(21)+++-
=48241266(21)(21)(21)(21)(21)++++-
=482412(21)(21)(21)6563+++⨯⨯,
所以这两个整数为65和63.
例4.已知222214a b a b ab +++=,求a 、b 的值.
分析：222214a b a b ab +++=不符合公式的结构特征，不能直接运用公式求值.一般情况下，当一个等式中含有两个未知数，且未知数的最高次数是2时，要构造完全平方式，逆用完全平方公式，利用完全平方式的非负性解决问题.
解：因为222214a b a b ab +++=，所以2222140a b a b ab +++-=，
所以22222120a b ab a ab b -++-+=，
所以22(1)()0ab a b -+-=， 所以100ab a b -=⎧⎨-=⎩，所以11a b =⎧⎨=⎩
或11a b =-⎧⎨=-⎩. 点评：解决这类题目的关键是逆用公式，注意非负数的性质的应用.
三、变形应用
例5.已知12a a +
=，则221a a
+＝_______. 分析：将12a a +=两边平方，运用完全平方公式，可求出221a a +的值；还可将222()2a b a ab b +=++变形为222()2a b a b ab +=+-，利用变形公式求解.
解：解法一：∵12a a +
=,∴21()4a a +=,∴221124a a a a
+⋅⋅+=. ∴22124a a ++=，∴2212a a
+=. 解法二：221a a +=2211()2222a a a a +-⨯⨯=-=.
例6.已知2ab =，5a b +=，求下列各式的值:(1)22a b +；(2)2
()a b -. 分析：（1）由完全平方公式222()2a b a ab b +=++变形得：()ab b a b a 22
22-+=+.（2）由完全平方公式与平方差公式相结合得：22
()()4a b a b ab -=+-.
解：（1）()ab b a b a 2222-+=+=252225421-⨯=-=. （2）22
()()4a b a b ab -=+-=254225817-⨯=-=.
点评：解决这类题常用的方法：（1）运用公式将所求的代数式作适当变形，使其变为能用已知条件的形式；（2）将已知条件作恒等变形，使其变为待求的代数式的形式；（3）注意完全平方公式的变式的应用：2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+.。