5
42．（2018 湖州期末）已知 a,b 都为正实数，且 1 1 3 ，则 ab 的最小值是
，
ab
1 b
的最大值是
ab
培优点七 不等式算两次
43．设
a
!
b
!
0
,那么
a2

1 b(a
b)
的最小值为
A. 2
B. 3
C. 4
（） D. 5
44.设
a
!
2b
!
0
，则
a

b
2

b
a
9
2b
1 ，则
2a a2 b

a
b b2
的
最大值是
（）
A.2
B.1 2
C.1 2 3
D.1 3 2
3
2
41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数 a, b 满足 a2 b 4 d 0 ,则 u
2a 3b ab
（
）
14 A.有最大值为 5
B.
有最小值为 14 5
C. 没有最小值
D.有最大值为 3
07
培优点十 多元变量的不等式最值问题
08
培优点十一 不等式综合应用
09
1
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
1．（2018 届温州 9 月模拟） 已知 2a + 4b = 2 （ a ， b Î R ），则 a + 2b 的最大值为
2．已知实数 x ， y 满足 x2 + y2 = 1 ，则 x 2 + y2 的最大值是 16
3．（2018
春湖州期末）已知不等式
(
x
+
my)(
1 x
+
1 y
)
³
9
对任意正实数
x
，
y
恒成立，则正实数
m
的最小值是
A. 2
B. 4
C.拟）已知 a ， b Î R ，且 a ¹1 ，则
a+b
+
a
1 +1
-
b
的最小值是
5．（2018
江苏一模）已知
a
>
0
，
b
>
0
B. 8 2
C. 8
D. 9
， ）
2
10．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足 x ! y ! 0 ，且 x y
2
，则
x
4 3y

x
1
y
的最小值是
.
11.（18 届金华十校高一下期末）记 max{x, y, z} 表示 x ， y ， z 中的最大数，若 a ! 0 ， b ! 0 ，
值是
^ ` 61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知 T min
x
2
y,
z
2
y,
x
2
z
，且
x y z 2 ，则 T 的最大值是
（）
A. 8
B. 8
C. 4
D. 2
3
3
3
62．已知 a,b,c R+ ,则
a2 b2 c2 ab 2bc
的最小值是
33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足 x2 xy 4 y2 1，则 x 2 y 的最大值
为
34．（2016 暨阳联谊）已知正实数 x, y 满足 2x y 2 ，则 x x2 y2 的最小值为
35． 已知正实数 a, b 满足 9a2 b2
则
max{a,
b,
1 a

b3}
的最小值为
（）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
12.已知 a,b 为正实数，且 a b
2
，则
a2
a
2

b2 b
1

2
的最小值为
13.已知正实数
a,b
满足
(2a
1
b)
b

(2b
2
a)a
1 ，则 ab 的最大值为
（补充题）已知 x, y
!0
，则
6xy x2 9y2
2bc ac
48．（2018
天津一模）已知
a
!
b
!
0
，则
2a

a
3
b

a
2
b
的最小值为
49.（2016 台州期末）已知正实数 a, b ，满足 a2 b 4 d 0 ，则 u
2a 3b ab
（
）
14
A.有最大值为
5
14
B.有最小值为
5
C.，没有最小值 D.有最大值为 3
50.已知 a ! 0,b ! 0, c ! 0 且 a b
的最小值为
45.（2017 天津）若 a,b R ， ab ! 0 ，则 a4 4b4 1 的最小值为 ab
46.若
x,
y
是正数，则
§ ¨©
x

1 2y
·2 ¸¹

§ ¨©
y

1 2x
·2 ¸¹
的最小值是
47.已知 a,b,c 0, f ，则
a2 b2 c2 2 5 的最小值为
D. 2
27.（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 4 y2 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为
28.（2018
届诸暨市期中）已知实数
x,
y
满足
x y

4y x
1 xy

2
，则
x
2xy 2y 1
的最大值为（
）
A. 2 3 3
B. 3 2
C. 2 3 1 3
D. 3 1 2
围是
（）
A. (f, 4]
B.[4, 4]
C. [2, 4]
D. [1, 4]
59.已知 x ， y ， z (0, f) 且 x2 y2 z2 1 ，则 3xy yz 的最大值为
60．（2016 大联考）设 x, y, z, w R ，且满足 x2 y2 z2 w2 1,则 P xy 2yz zw 的最大
63．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 5ab 2bc 的最大值是
64．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 ac bc 的最大值是
；又若 a b c 0 ，
则 c 的最大值是
7
培优点十 多元变量的不等式最值问题
65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数 a, b, c, d 满足 a b 1, c d 1 ，则
2
，则
ac b

c ab

c 2

c
5 2
的最小值是
培优点八 齐次化
51．（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 x2 2 y2 d cx( y x) 对满足 x ! y ! 0 的任
意实数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x ! 0, y ! 0, x 2 y 3，则 x2 3y 的最小值为（
1
，则
ab 3a
b
的最大值为
36．已知实数 a,b, c 满足 a b c 0,a 2 b2 c2 1 ，则 a 的最大值为
37.（2018 届杭二高三下开学）若 9x2 4 y2 6xy 1, x, y R ，则 9x 6y 的最大值为
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
基本不等式培优专题
(学生版)
目录
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
02
培优点二 “1”的代换
02
培优点三 换元法
03
培优点四 和、积、平方和三量减元
04
培优点五 轮换对称与万能 K 法
05
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
05
培优点七 不等式算两次
06
培优点八 齐次化
06
培优点九 待定与技巧性强的配凑
）
xy
A.3 2 2
B.2 2 1
C. 2 1
D. 2 1
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6
53．（2018·浙江模拟）已知 a
!
0, b
!
0
，则
6ab 9b2 a2

2ab b2 a2
的最大值为
，
若 4x2 xy y2 25 则 3x2 y2 的取值范围是
小值时 ab
（）
A．3
B．4
C．6
D．9
16．（2018
温州期中）已知实数
x,
y
满足
2x
!
y
!
0
，且
1 2x
y

x
1 2y
1，
则 x y 的最小值为
（）
A． 3 2 3 5
B． 4 2 3 5
C． 2 4 3 5
D． 3 4 3 5
17．（2018 杭州期末）若正数 a,b 满足 a b
杭二最后一卷)若正数
x,
y
满足
1 x

1 y