线性代数复习总结大全
第五章矩阵的特征值和特征向量
特征值、特征向量
A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。

|A|=n
λλλ...**21注：1、AX=λX
2、求特征值、特征向量的方法
0=-A I λ求i λ将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解
3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4、特征值：若)0(≠λλ是A 的特征值
则1-A --------
λ1则m A --------m λ
则kA --------λ
k 若2
A =A 则-----------λ=0或1若2
A =I 则-----------λ=-1或1若k
A =O 则----------λ=0迹tr(A )：迹（A ）=nn
a a a +⋯⋯++2211性质：
1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的
2、A 与1
-A 有相同的特征值
3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、5、P281
相似矩阵
定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1，则矩阵A 与B 相似，记作A~B
性质1、自身性：A~A,P=I
2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-11
-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C
B AP P =-111
C BP P =-212---C
P P A P P =-)()(211214、若AB ，则A 与B 同（不）可逆
5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，1
11---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。

（特征值相同的矩阵不一定相似）
7、若A~B ，则)
()(B r A r =初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1
100100-=P PB A O
AP P =-1A=O I
AP P =-1A=I I AP P λ=-1A=I
λ矩阵对角化
定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致
2、A~^,则^与P 不是唯一的
推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281）
定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有i
i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。

约当形矩阵
约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块；
约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=n J J J J 21（i J 是约当块）称为约当形矩阵。

定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵，即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1。