第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:分类解密———专题突破函数与不等式模型的应用题例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.(1) 用x,y,a,b表示S;(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y 的值.(练习)函数与导数模型的应用题例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t);(2) 若在t=12处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值.(例1)练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m 的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1) 求出y 关于v 的函数解析式;(2) 设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.三角形与三角函数模型例1 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2.(1) 用a,θ表示S1和S2;(2) 当a固定,θ变化时,求12SS的最小值.(例1)练习(2014·淮安中学)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.(1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.(2) 求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.(用含R的式子表示)(练习)解析几何模型例1 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r>0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?练习(2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=4 3.(1) 求新桥BC的长;(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(练习)数列模型例1 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷款?(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=**1,120,N,1,2160,N10x xx x x∈∈⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=xx第个月的利润第个月的资金总和,例如,g(3)=(3)81(1)(2)ff f++.(1) 求g(10);(2) 求第x个月的当月利润率;(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.立体几何体模型例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为80π3 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理:1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.考点1 函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)=150035kx=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=15003?(214-)k x=500(214-)k x.(1) g(x)-h(x)=900kx-500(214-)k x=192600-1400·(214-)xkx x,因为1≤x<214,x∈N,所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x);②当138≤x≤213时,g(x)<h(x);即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:f(x)=900,1137,N,500,138213,N.(214-)x xkxx xk x∈∈⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩(2) 要使任务完成最快,|g(x)-h(x)|应最小,令g(x)-h(x)=0,得x=13747.因为x∈N,所以需比较x=137和138时,|g(x)-h(x)|的大小.经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少.另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137,x∈N时,f(x)=900kx,显然x=137时,f(x)最小.当138≤x≤213,x∈N时,f(x)=500(214-)k x,显然x=138时,f(x)最小,比较x=137和x=138时f(x)的大小,可知当x=137时,f(x)最小.【练习】【解答】(1) 由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y>0).(2) 因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2?2bx ay当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S≥abxy令xy则t>0,上述不等式(*)可化为4t2ab≤0,解得--S ab≤t≤-S ab,因为t>0,所以0<t≤2, 从而xy≤.由,224,bx ay S bx ay xy ab =⎧⎨=+++⎩解得2x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(负根舍去).所以当x=,y=时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为考点2 函数与导数模型的应用题【例1】 【解答】(1) 由f(x)=1-ax 2(a>0)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)). 直线MN 的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN 的方程为y-1+at 2=-2at(x-t),令y=0,可得x M =t+21-2at at ,可得M 21-,0at t at ⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 令x=0,可得y M =1+at 2,可得N(0,1+at 2),所以S(t)=S △OMN =12×(1+at 2)×212at at +=22(1)4at at +.(2) 当t=12时,S(t)取得最小值,S'(t)=222222(1)24-4(1)16at at at a at a t +⨯⨯+=22222(1)(12-4)16at a t a a t +,由题意知S'12⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,即12a 2×14-4a=0,解得a=43,此时S(t)的最小值为S12⎛⎫⎪⎝⎭=22(1)4atat+=24113441432⎛⎫⨯+⎪⎝⎭⨯⨯=23.【练习】【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.【解答】(1) 潜入水底用时30v单位时间,用氧量为30v×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;返回水面用时60v单位时间,用氧量为60v×0.2=12v.所以y=30cv+2+12v(v>0).(2) y=30cv+2+12v≥当且仅当30cv=12v,即时取等号.≤5,即c≥2125时时,y的最小值为>5,即c<2125时,y'=30c-212v=2230-12cvv<0,因此函数y=30cv+2+12v在(0,5]上为减函数,所以当v=5时,y的最小值为150c+22 5.综上,当c≥2125时,时,用氧量最小为当0<c<2125时,下潜速度为5时,用氧量最小为150c+225.考点3 三角形与三角函数模型【例1】【分析】用a,θ表示S1和S2,a固定时12SS是关于θ的函数,然后可以利用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值.【解答】(1) S1=12asinθ·acosθ=14a2sin2θ,设正方形边长为x,则BQ=tanxθ,RC=xtanθ,所以tanxθ+xtanθ+x=a,所以x=1tan1tanaθθ++=sin22sin2aθθ+,所以S2=2sin22sin2aθθ⎛⎫⎪+⎝⎭=222sin24sin24sin24aθθθ++.(2) 当a固定,θ变化时,12SS=14sin244sin2θθ⎛⎫++⎪⎝⎭,令sin2θ=t,则12SS=1444tt⎛⎫++⎪⎝⎭(0<t≤1),利用单调性求得t=1时,12minSS⎛⎫⎪⎝⎭=94.【练习】【解答】(1) 由题意可知,点M为PQn的中点,所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsinθ,OF=Rcosθ.AB=OF-12AD=Rcosθ-Rsinθ.所以S=AB·BC=2Rsinθ(Rcosθ-Rsinθ)=R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ-1+cos2θ22sinπ24θ⎛⎫+⎪⎝⎭-R2,θ∈π0,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2) 因为θ∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭,则2θ+π4∈π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭,所以当2θ+π4=π2,即θ=π8时,S有最大值,Smax=(2-1)R2.故当θ=π8时,矩形ABCD的面积S有最大值(2-1)R2.考点4 解析几何模型【例1】【分析】建立平面直线坐标系,求出圆心到直线的距离d,通过弦心距和半径作比较进行判断.【解答】如图,以台风中心为原点建立平面直角坐标系xOy.(1) 由图可知轮船在直线l:x+y-80=0上移动,原点到直线l的距离d=402.(例5)所以2,轮船在途中不会受到台风影响.(2) 因为2所以轮船会受到台风影响.航程为2260-(402)所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航程是40km.【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.【练习】 【解答】方法一:(1) 如图(1)所示,以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO=-43. 又因为AB ⊥BC,所以直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a,b),则k BC =-0-170b a =-43,k AB =-60-0b a =34,解得a=80,b=120,所以BC=22(170-80)(0-120)+=150(m).因此新桥BC 的长是150m.(练习(1))(2) 设保护区的边界圆M 的半径为rm,OM=dm(0≤d ≤60).由条件知,直线BC 的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M 与直线BC 相切,故点M(0,d)到直线BC 的距离是r,即2243+=680-35d.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m,所以-80,-(60-)80,r d r d ≥⎧⎨≥⎩即680-3-80,5680-3-(60-)80,5dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-35d最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.方法二:(练习(2))(1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.因为tan∠FCO=43,所以sin∠FCO=45,cos∠FCO=35.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=6803,CF=cosOCFCO∠=8503,从而AF=OF-OA=5003.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=45.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=4003,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=-MDOF OM=680-3rd=35,所以r=680-35d.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以-80,-(60-)80, r dr d≥⎧⎨≥⎩即680-3-80,5680-3-(60-)80, 5dddd⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-35d最大,即圆面积最大,所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.考点5 数列模型【例1】【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为Sn =p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(1)2n nn r+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(等差数列问题).②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用.(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800=800000=80(万元),扣除18万元,可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1, 化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.所以1.05n≥1.7343,两边取对数整理得n≥lg1.7343lg1.05=0.23910.0212=11.28,所以取n=12.所以到2024年年底可还清全部贷款.(2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8年,依题意有1000-1810000x⎛⎫⎪⎝⎭[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9,化简得(0.1x-18)81.05-11.05-1≥500×1.059,所以x≥109825 1.05 181.05-1⎛⎫⨯+⎪⎝⎭=1025 1.05 1.4774 181.4774-1⨯⨯⎛⎫+⎪⎝⎭=10×(18+81.2)=992.故每名学生每年的最低收费标准为992元.【点评】在经济活动中,如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.【练习】【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=1,所以g(10)=(10)81(1)(2)(9)ff f f+++⋅⋅⋅+=190.(2) 当x=1时,g(1)=1 81.当1<x≤20时,f(1)=f(2)=…=f(x-1)=f(x)=1,则g(x)=()81(1)(2)(-1)f xf f f x+++⋅⋅⋅+=180x+,经验证x=1也符合上式,故当1≤x≤20时,g(x)=180x+.当21≤x≤60时,g(x)=()81(1)(2)(20)(21)(-1)f xf f f f f x +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=1108120(21)(-1)xf f x +++⋅⋅⋅+=110(-21)(20)10120xx x++=22-1600xx x+,所以第x个月的当月利润率为g(x)=21,120,802,2160.-1600xxxxx x⎧≤≤⎪⎪+⎨⎪≤≤⎪+⎩(3) 当1<x≤20时,g(x)=180x+是减函数,此时g(x)的最大值为g(1)=181.当21≤x≤60时,g(x)=22-1600xx x+=21600-1xx+≤279,当且仅当x=1600x,即x=40时,g(x)有最大值为279.因为279>181,所以当x=40时,g(x)有最大值为279,即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为279.考点6 立体几何体模型【例1】【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,再利用导数研究其最值.【解答】(1) 因为容器的体积为803πm3,所以43πr3+πr2l=803π, 解得l=2803r-43r=2420-3rr⎛⎫⎪⎝⎭,由于l≥2r,所以0<r≤2,所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×2420-3rr⎛⎫⎪⎝⎭×3+4πr2c,所以y=160πr-8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].(2) y'=-2160πr-16πr+8πcr=328π[(-2)-20]c rr,因为c>3,所以c-2>0,当r3=20-2c时,即y'=0,令320c-2=m,则m>0,所以y'=28(c-2)rπ(r-m)(r2+mr+m2).①当0<m<2,即c>92时,当r=m时,y'=0;当r∈(0,m)时,y'<0;当r∈(m,2)时,y'>0,所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.②当m≥2,即3<c≤92时,当r∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减, 所以r=2时函数y取得最小值点.综上,当3<c≤92时,建造费用最小时r=2;当c>92时,建造费用最小时=64160640-288xx⨯+(x>200).要使tan∠BPC达到最大,只需x+160640x⨯-288达到最小,由均值不等式可知x+160640x⨯-288≥-288,当且仅当x=160640x⨯时上式取得等号,故当x=320时,tan∠BPC最大,这时,点P的纵坐标为y=320-2002=60.由此实际问题知,0<∠BPC<π2,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大,故当此人距水平地面60m时,观看铁塔的视角∠BPC最大.。