利用求交点坐标的方法，能否判断两条 直线的位置关系？
将两条直线的方程联立 A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
方程组有唯一解 方程组无解 方程组有无数解
两条直线相交
两条直线平行
两条直线重合
例1：判断下列直线的位置关系。 如果相交，求出交点的坐标
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1) x1 Q(x2,y1) x2
O
x
| PQ 1 || x2 x1 |
两点间距离公式
y
| PQ 1 || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1) O
x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 2+λ ∴ － ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ－1 因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3x 4 y 4 0 l2 : 6 x 2 y 1 0
b1 b2
3 k1 k2 4
所以l1//l2
另一方面
3x 4 y 4 0 6x 2 y 1 0
所以l1//l2
无解 直线l1与l2的无交点
（ 3）
l1 : 3x 4 y 5 0 l2 : 6x 8 y 10 0 l2 : 3x 4 y 5 0
解析几何
3.3.1两条直线交点坐标
复习提问： 1.设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，在什 么条件下有l1//l2？
AB 1 2 A2 B1 0, 且A1C 2 A2C 1 0(或B1C 2 B2C 1 0)
2.设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，在什 么条件下有l1⊥l2？ A1A2+B1B2=0
（ 1）
l1 : x y 0
k1 k2
l2 : 3x 3 y 10 0
解：解方程组
l1和l2相交
得
x y 0 3x 3 y 10 0
5 x 3 y 5 3
5 5 直线l1与l2的交点是 M ( , ) 3 3
（2） l1 : 解：
练习：课本109页 2， 3
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 1， 5）在直线上吗？ (2)点（2， 7）在直线上吗？ (3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y) x
直线的方程就是直线上每一点坐标满足 的一个关系式
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
7 5 , 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
o
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
直线系方程的定义
直线系： 具有某种共同性质的所有 直线的集合. 它的方程叫直线系方程。
直线系方程的应用:
解法一：解方程组
练习1：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
7 5 故直线恒过 , 2 2
练习2. 求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2：令m=1，m= -3代入方程，得： 7 x 4 y 10 0 2 解得： y 5 4x 14 0 2 又因为: 2.5(m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0 所以直线恒过定点
几何元素 及关系
代数表示 P（a，b） 方程:Ax+By+c=0
点P的坐标满足方程：Aa+Bb+C=0 点P的坐标满足方程组： 即是其解
点P 直线l
点P在直线l上
直线l1与l2 的交点是P
A2 x B2 y C2 0
A1 x B1 y C1 0
结论：求两条直线交点坐标就是求解相应的联立方程组。
直线l1与l2重合
例2：求直线3x+4y－2=0和2x+y+2=0的交点M的坐标， 并证明方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0（λ为任意 常数）表示过M点的所有直线（不包括直线 y 2x+y+2=0）。
3x+4y－2=0
证明：联立方程
2x+y+2=0
M(-2, 2) x
x=-2
解得： y= 2 代入：3x+4y－2+λ（2x+y+2）= 0 即 M（-2，2）
2
Q(x2,y1) x
2
| PP ( x2 x1 ) ( y2 y 1 ) 1 2 |
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OP | x y
2
2
数形结合
直线系方程的应用:
练习2. 求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法1： 将方程变为：
x 3y 11 m(x y 1) 0
解得： x 3y 11 0
x y 1 0
即：
7 x 2 y 5 2