互动探究
例3条件不变，求直线l关 于点A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
考点四 直线中的最值问题
例4.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满 足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l 的交点Q满足(2).事 实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则
由 l1⊥MN 知，k1＝－kM1N＝－35， ∴l1 的方程为 y＋2＝－35(x＋2)，即 3x＋5y＋16＝0. l2 的方程为 y－3＝－35(x－1)，即 3x＋5y－18＝0.
练习 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0a 0，直线l2：－4x＋
2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是
∴3－＝2k＝＋－b22.k＋b1， ②
①
由①－②得 b1－b2＝3k－5，
由 d＝|b11－＋bk22|＝|31k＋－k52|两边平方，
整理，得(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.
③
由 k∈R，得 Δ＝302－4(d2－9)(d2－25)≥0.
又 d>0，故解得 0<d≤ 34.
(2)直线关于点的对称，其主要方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两 点式求出直线方程，或者求出一个对称点， 再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00 的解．
2．距离公式
类型
条件
两点间的 距离
两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
公式 |P1P2|＝
(x2－x1)2＋(y2－y1)2
点到直线 点P0(x0，y0)，直线l： 的距离 Ax＋By＋C＝0
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
例3 已知直线l：2x－3y＋1＝0， 点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的
对称直线m′的方程．
【思维总结】 (1)点关于线对称， 不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上” 的问题；
(2)线关于线对称，不能转化为点关 于线的对称问题；线关于点的对称，不 能转化为点关于点的对称问题．
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1 求a的值；
2 能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
1 2
；
③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是 2∶5； 若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
【解析】1由l2：2x－y－12 ＝0，所以l1与l2的距离
当 l1、l2 平行于 y 轴时，d＝3< 34. ∴当 d＝ 34时，③化为 25k2＋30k＋9＝0，
解得 k＝－35，代入①②得 b1＝－156，b2＝158.
∴l1 x＋5y＋16＝0，l2 x＋5y－18＝0.
解法 2 由几何知识可知，当 l1⊥MN 时，l1 与 l2 的距 离最大，最大值为|MN|＝ 34.
解法 2：因为平行线间的距离 d＝|6－21|＝522， 如图，直线 l 被两平行线截得的线段为 5， 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ， 则 sinθ＝ 22，∴θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或零． 又因为直线 l 过点 P(3,1)， 所以直线 l 的方程为 x＝3 或 y＝1.
基础知识梳理
1．直线的交点坐标
(1)点、线关系及代数表示
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线 l
l：Ax＋By＋C＝0
点 A 在直线 l 上
Aa＋Bb＋C＝0
直线 l1 与 l2 的交点是 A
方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，， 解得xy＝＝ba
2)两直线交点的求法 两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0， 则l1与l2的交点坐标就是方程组
| ，即c＝13
或c＝11
5
5
2
6
所以2x0－y0＋123 ＝0或2x0－y0＋161＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：
| 2x0 y0 3 |＝ 2 | x0 y0 1|
5
5
2
即| 2x0－y0＋3 |＝| x0＋y0－1| ，所以x0－2y0＋4＝0，
或3x0＋2＝0，由P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能，
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则P点坐标为(11 , 26 ) .
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【评析】 (1)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离 之和最小.
①当两定点A,B在直线l异侧时,由两点之间线段最短 及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点P为AB连 线与l的交点;点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长 度,如图.
|P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|. 当且仅当A,B,P三点共线时等式成立.
由方程组：2x0－y0＋123

0


x0


3 1 (舍去)，
x0－2y0＋4＝0
y0 2
由2x0－y0＋121 x0－2y0＋4＝0
0

得

x0 y0

1 9 37 18
，所以P(
1 9
，37 18
)，
即为同时满足三个条件的点．
考点三
[分析] 如右图，由点斜式得l方程，分别 与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标 (用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值， 从而求得l的方程．
• [解析] 解法1：若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交 点分别为A′(3，－4)、B′(3，－9)，截得 的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符 合题意.
为(a,b),则kBB′ ·kl=-1,即3· a
又由于线段BB′的中点坐标为(
=-1.∴a+3b-12=0 ①
α
,
b - 4),且在直线l上,
2a
∴3× α - b - 4 -1=0.即3a-b-6=0 ②
解①②得2 a=3,ba=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为 y - 1 x - 4,
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练习 已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和 y＝0上分别有点M和N使△AMN的周 长最短，求点M、N的坐标．
规律方法总结
1．中心对称 (1)若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a ， b)对 称 ， 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 xy＝＝22ba－－yx11 .
考点二
距离问题
1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公 式是常用的公式，应熟练掌握．
2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝ |y0－a|.
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝ |x0－b|.
两平行线 间的距离
直线l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By
d＝
|C1－C2| A2＋B2
＋C2＝0
(转化为点到直线的距离)
考点一 求两条直线的交点
例1
△ABC的两条高所在直线的方程 为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的 方程．
跟踪练习1
• 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直 线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得 的线段之长为5，求直线l的方程．
提醒：点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时， 公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来 求距离．
例2 已知点P(2，－1)． (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的
方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的 直线？若存在，求出方程；若不存在，请 说明理由．
对称问题
点的对称是对称问题的本质，也是对称的 基础．只要搞清了点关于点、直线的对称规律， 则曲线关于点、直线的对称规律便不难得 出．解决此类问题，首先应明确对称图形是什 么，其次，确定对称图形与对称轴的关系．常 用到两点：(1)两对称点的中点在对称轴上(利 用中点坐标公式)；(2)两对称点的连线与对称 轴垂直(若二者存在斜率，则斜率之积为－1)．
当||P′B|-|P′A||≤|AB|=|PB|-|PA|,
当P′与P两点重合时,等号成立,最大的值为 |AB|.重合时,等号成立,最大值为|A′B|.
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②当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的 对称点A′,连结A′B,交l于点P,如图可知,
||PB|-|PA′||=|A′B|时,达到最大. 在l上任取一点P′,则 ∵||P′B|-|P′A′||≤|A′B|, ∴当P′点与P点重合时, 等号成立,最大值为|A′B|.
| a 1 |
d＝
2
7
5
22 12 10
化 得：| a＋1 | ＝7 ，因 a 0，所以a＝3. 22
2 P(x0，y0 )，若P 足 件 ，P 在与l1，l2
平行的直 系Biblioteka ：2x－y＋c＝0(c 3，且c －1 )上， 2
且2
.| c

3
| ＝|
c

1 2
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②当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对 称点为A′.连结A′B交直线l于点P,则点P到两定点A,B的距离 之和最小.