积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量）
工
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
程
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
力 学
EIy(x) M (x)
EIy(x) M (x)dx C1
EIy(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
12
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 积分法计算梁的变形
工
程
力
学
主 讲：谭宁 副教授
办公室：教1楼北305
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
查表叠加法、简单超静定梁
工
程
刚度条件与提高刚度的措施
力
弯曲应变能
学
斜弯曲
2
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。
1 M (x)
(x) EI
工
程 力
d2 y M (x) dx2 EI
挠曲线近似微分方程
学
d M (x)
转角近似微分方程
dx EI
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“FQ”以及( y)2 对变形的影响。 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
11
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
x a L yC 0
B1 B2
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
q
A
Cx
B
EI z
k
工
l2
l2
程
力 挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
学 边界条件
连续条件
x0 xL
yA 0
yC
Fc k
qL 8k
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
17
§9(3). 弯曲变形
4
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成
为一条光滑连续曲线，这条曲线称为挠曲线。
工
F
q
M
程
力
轴线
学
弯曲后梁的轴线
纵向对称面
（挠曲线）
5
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
MAB＝MCD＝0
工 MBC＝const 程 力 学
梁的基本变形微分方程、直接积分法
F
工
EI z1
EI z2
x
A
程
L2
B
L2
C
力 学
挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
边界条件
x 0 yA 0
A 0
连续条件
x L 2
yB1 yB2
B1 B2
18
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
C
q
EA
L1
工
A
x
B
程
EI Z
答案 D
6
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
FA＝0
A
C
D
FB＝0
工 MCD＝const 程 力 学
B 答案 D
7
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
FA＝0 FB＝P A
C
B
MBD＝const
工 程
M
B
M
B
Fpl
力
学
D
答案C
8
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 挠度和转角的关系
y = y（x） ……挠曲线方程。 挠度向上为正；向下为负。
工
θ=θ(x) ……
转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，
程 力
θ
y
逆时针为正；顺时针为负。
学
tg dy dx
挠曲线在c´点的切线
挠曲线上任一点的斜率都可以足够精确的表示该点处横截面的转角。
9
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。
工 程 力 学
3
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
转角,横截面绕中性轴转过的角度。
θ
工
y
程
挠度y,横截面形心沿垂直
力
Δx
于轴线方向的位移。
学
因Δx很微小，往往忽略。
度量梁变形的参数--- 梁的挠度y，横截面的转角θ 。 挠曲线：梁变形后的轴线，y(x)。
Fx3
C1
x
C2
c) 应用位移边界条件求积分常数
x l, y 0, 0
C1
1 2
Fl2
; C2
1 3
Fl3
l
F
d) 确定挠曲线、转角方程
y(x) F x3 3l2x 2l3 6EI y F x2 l2 2EI e) 自由端的挠度及转角
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~ ~ ~
§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法 积分法计算梁的变形
（A4）弹簧支撑
A
A－弹簧变形 A
工
程
y A
力
学
4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
例1： 用积分法求梁挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线
1.研究梁的挠度和转角的目的：
工
主要目的之一就是对梁作刚度校核，即检查梁弯曲
程 时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；
力
学 2. 求梁位移的基本方法
根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程和 转角方程。
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
梁的基本变形微分方程
由挠曲线的曲率
力
L
学 全梁仅一个挠曲线方程，共有两个积分常数
边界条件
x0
yA 0
xL
yB LBC
qLL1 2EA
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
Me
A
EI z
x C
工
aB
L
程
力 挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数.
学 边界条件
连续条件
x 0 yA 0
xa
yB1 yB2
近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写
工 出其确定积分常数的边界条件
程
力
F
学
q
A
B
EI z
C
a
L
Байду номын сангаас
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
F
q
A
B
EI z
C
工
a
L
程 力
挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数
学 边界条件
连续条件
x a yB 0
xa
yB1 yB2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
工 程
A
PF
C
B
力 学
边界条件： yA 0, yB 0 连续条件： yC左 yC右， C左 C右
D
P
yD 0, D 0
（1）固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
（2）固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
A 0
x a L yC 0
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§9(3). 弯曲变形
梁的基本变形微分方程、直接积分法
积分法计算梁的变形
例1：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
x
解：a) 写出弯矩方程
工
M (x) Fx
程 b) 写出微分方程并积分
力
EIy M (x) Fx
学
EIy
1 2
Fx2
C1
EIy
1 6