第 12 章 （之1）（总第67次）教学内容: §12．1二重积分概念与性质 **1．解下列各题：(1) 若D 是以)1,0(),0,1(),0,0(===B A O 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得到y x y x Dd d )1(⎰⎰--=___________．答：61(2) 设f (t )为连续函数，则由平面 z =0，柱面122=+y x 和曲面)(2xy f z= 所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：⎰⎰≤+1222d d )(y x y x xy f ．(3) 设⎰⎰≤+++=122sin cos 1d d y x y x yx I 则I 满足 ( ) (A) 232≤≤I (B) 32≤≤I(C) 21≤≤I D (D)01≤≤-I答：(A)．(4) 设σd y x I D⎰⎰+=)ln(1，σd y x I D⎰⎰+=22)(及σd y x I D⎰⎰+=)(3其中D 是由直线 x =0，y =0，21=+y x 及1=+y x 所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( )(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．答：（B ）．(5) 设),0(:222>≤+a a y x D 当________=a 时，π=--⎰⎰dxdy y x a D222．（A ） 1； (B) 323； (C) 343； (D) 321 ．答：（B ）．**2．解下列问题：(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：⎰⎰+Dy x e σd 22与⎰⎰++Dy x σd )1(22，其 中，D 为任一有界闭区间．解：令 22y x u +=，且()()u e u f u +-=1，则有()1'-=ue uf ．∵0≥u ，∴ ()0',01≥≥-u f e u即， ()u f 是增函数．∵ ()0100=-=e f ， ∴ ()()00≥-f u f 即 ()01≥+-u e u，∴22122y x e y x++≥+， 因此()⎰⎰⎰⎰++≥+DDy x d y x d e σσ22122．(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：⎰⎰++Dy x σd )1(22，}144169),{(22≤+=y x y x D ．解：先求出目标函数()1,22++=y x y x f 在区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1916,22y x y x D 上的最小值和最大值，由于区域D 上的点到坐标原点()0,0=O 的距离为22y x +，∴4040222=+≤+≤y x ，∴()17,1≤≤y x f ，又因为该区域的面积为 ππ1243=⨯⨯=D ，∴ ()ππσπ2041217,12=⨯≤≤⎰⎰Dd y x f ．***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)⎰⎰≤+-1322d d )sin(y x y x y x ；解：因为I x y x y y x y x I x y y x -=-=-=⎰⎰⎰⎰≤+≤+13132222d d )sin(d d )sin(，所以0=I ．(2) ⎰⎰≤≤++1,122d d e e e e y x yx yx y x b a ． 解：⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤++=++=1,11,12222d d e e e e d d e e e e x y x y xy y x yx yx x y b a y x b a I ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤1,11,12222d d e e e e d d e e e e 21x y xy xy y x y x y x x y b a y x b a I )(2d d 2d d ee e )(e )(211,11,12222b a y x b a y x b a b a y x y x y x y x +=+=++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤．***4． 设),(y x f 是连续函数，试利用积分中值定理求极限⎰⎰≤+→222d ),(1lim20r y x r y x f r σπ．解：积分区域 222:r y x D ≤+ 为有界区域，且 ()y x f , 连续， ∴ 由积分中值定理可知：存在点()D ∈ηξ,，使得()()DDSf d y x f ηξσ,,=⎰⎰，即：()()ηξπσ,,2222f r d y x f r y x =⎰⎰≤+，又 ∵ 当0→r 时，()()0,0,→ηξ，且()y x f ,在()0,0连续．∴ ()()0,0,1lim22220f d y x f r r y x r =⎰⎰≤+→σπ．第 12 章 （之2）（总第68次）教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：**（1）设),(y x f 是连续函数，则()+⎰⎰--x y x f y y a aya ad ,d 222220()y y x f dy y a a a d ,2202⎰⎰-()0>a 可交换积分次序得___________________________．答：原式=⎰⎰--ax a ax a y y x f x22222d ),(d ．**（2）设),(y x f 是连续函数，则二次积分⎰⎰++-2111d ),(d x x y y x f x （ ）（A ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰--+11212d ),(d y x y x f y ； （B ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ；(C) ⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰---+11212d ),(d y x y x f y ； (D)⎰⎰---11202d ),(d y x y x f y ．答：(C)**（3）设()y x f ,是连续函数，交换二次积分()dy y x f dx x e⎰⎰ln 01,的积分次序的结果为（ ）（A ）()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (B) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,；(C) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (D)()dx y x f dy eey ⎰⎰,1．答：(D)**（4）设),(y x f 是连续函数，则积分⎰⎰⎰⎰-+xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2可交换积分次序为 （ ） （A ）()+⎰⎰dx y x f dy y01,()dx y x f dy y⎰⎰-2021,； （B ）()+⎰⎰dx y x f dy x 21,()dx y x f dy x⎰⎰-2021,；（C ）⎰⎰-yydx y x f dy 210),(；（D ）()dx y x f dy xx ⎰⎰-212,．答： (C )**（5）设函数()y x f ,在122≤+y x 上连续，使()()dyy x f dx dxdy y x f x y x ⎰⎰⎰⎰-≤+=2221011,4,成立的充分条件是 （ ） （A ）),(),(y x f y x f =-， ),(),(y x f y x f -=-；（B ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f =-； （C ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f -=-； （D ）),(),(y x f y x f =-，),(),(y x f y x f =-． 答：（D ）．2．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）． **（1）D 由曲线2,,1===x x y xy 围成；解：()()()dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I yx yx⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==2212121,,,1211**（2）()(){}11,1max ,≤≤--=y x x y x D解：()()()dxy x f dy dy y x f dx dy y x f dx I yyx x⎰⎰⎰⎰⎰⎰+---=+=1111121111,,,**（3） D ：1≤+y x ，1≤-y x ，0≥x ．解：原式=⎰⎰--xx dy y x f dx111),(=⎰⎰⎰⎰-+-+011110),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy ．3．计算二次积分： **(1)⎰⎰-422222y xx dx edy ．解：22,42:≤≤≤≤x yy D ， 变换积分次序得x y x D 22,21:*≤≤≤≤， 原式()⎰⎰⎰-==--212222122222dx x e dy dx e xxxx x()ee x x e x xxx112d 212212222-==-=--⎰．**(2)⎰⎰--+-111221xdy y x x dx ． 解：原式=dx y x x dy y⎰⎰-+-111221=dy y )1(31311⎰-- =21．4．计算下列二重积分 **(1)⎰⎰-Dyd 2σ，其中(){}y y x y x D 2,22≤+=；解：原式=238222202=-⎰⎰-y y ydx dy ．**(2) 计算二重积分⎰⎰Dx dxdy e 2，其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 3所围成的区域． 解：原式=⎰⎰xx x dy dx e 321=dx e x xex x )(2213⎰- =121-e ．**(3) 计算二重积分⎰⎰-Dd y x σ12，其中}10),{(2x y y x D -≤≤=． 解：(){}10:10,2≤≤⇒-≤≤=y D x y y x D ， 原式⎰⎰----=yydx x dy y 11211()()[]()()()()92192113213211111313111031021021011103=--=---=-=--+---=-=⎰⎰⎰⎰---y y d y dy y dy y y y y y x dy y y y**(4) 计算二重积分⎰⎰-Dy x σd ,其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D ．解：直线x y =把区域D 分成1D （上）、2D （下）两个部分，⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21)d ()d (d D D Dy x x y y x σσσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=-+-=10021022100102d )(21d )(21d )(d d )(d x y x x x y y y x x y x y x xx xx 34231)d 22(123102=+-=+-=⎰x x x x x x ．**(5) 计算二重积分⎰⎰+Dd y x x σ)sin(，其中D 由直线π=x 、抛物线x x y -=2及其在（0，0）点的切线围成．解：抛物线x x y -=2在（0，0）处切线斜率 1)0('-=y ，此切线方程为 x y -=，区域D:x x y x x -≤≤-≤≤2,0π，⎰⎰+Dd y x x σ)sin(⎰⎰--+=π2)sin(xx x dy y x x dx ⎰⎰--++=π2)()sin(xx xy x d y x x dxxx y xy y x x dx -=-=⎰+-=2)]cos([π⎰-=π2)cos 0(cos dx x x ⎰-=π2)cos 1(dx x x ππ202sin 2121x x -==2π．6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分： **(1) ()⎰⎰++Dd c by ax σ，其中 (){}222,R y x y x D ≤+=，a ,b ,c 为常数． 解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++DDDDcd byd axd d c by ax σσσσ，∵(){}222,R y x y x D ≤+=，既关于y 轴对称，又关于x 轴对称． 又∵()ax x f =为奇函数，()by y g =也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：0,0==⎰⎰⎰⎰DDbyd axd σσ．**(2) ()⎰⎰+++Ddxdy x yx x 652111，其中(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ．解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰++++=+++DD D dxdy x y x dxdy x x dxdy x y x x 6762652111111，∵(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ，关于y 轴对称，又()6711,x y x y x u ++=，关于x 为奇函数， ∴01167=++⎰⎰Ddxdy x yx ，∴ ()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+++-2062116265211111dy x x dx dxdy x x dxdy x y x x DD ()3arctan 34d 1134d 122103103231062π==+=+=⎰⎰xx x x x x ．第 12 章（之3）（总第69次）教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法1． 填空与选择 **(1) 设D ：20,10πθρ≤≤≤≤，根据二重积分的几何意义，则___________d θd 1D2=-⎰⎰ρρρ．答：π61．**(2) 设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下先对ρ积分的累次积分_________________．解：记ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =，则ρθρθρθρθρθρθππθππππθd ),(d d ),(d d ),(d 23cos 2033132cos 20⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---F F F ．**（3）若区域D 为(x －1)2+y 2≤1，设ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =， 则二重积分⎰⎰D y x y x f d d ),(化成累次积分为 （ ）(A)ρθρθπθd ),(d 0cos 20⎰⎰F ； (B) ρθρθππθd ),(d cos 20⎰⎰-F ；(C)ρθρθππθd ),(d 22cos 20⎰⎰-F ； (D) ρθρθπθd ),(d 220cos 20⎰⎰F ．答：（C ）．** (4)若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分dxdy y x y x D22)(++⎰⎰化成累次积分为（ ） (A)⎰⎰+-θππρρθρθθθcos 2022d cos 2)sin (cos d ；(B)⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos ；(C) ⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos 2； (D)⎰⎰-+θππρρθθθcos 20322d d )sin (cos ．答：（D ）．2．化下列二重积分为极坐标下的二次积分 **(1)⎰⎰Dd xy f σ)(，其中 }1,10),{(2≤≤≤≤=y x x y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x在区域D1上2)cos (sin θρθρ=即)20(c o s s i n 2πθθθρ≤≤=，在区域D2上1sin =θρ即)20(sin 1πθθρ≤≤=，ρρθθρρρθθρθσππθπθθd f d f d d xy f D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=24sin 1024cos sin 02)cos sin ()cos sin ()(2．**(2)．⎰⎰+Dd y x f σ)(，其中}10,2),{(2≤≤-≤≤=y y x y y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x ，由θθρθρθρ222c o s s i n )c o s (s i n =⇒=⇒=x y ，由 2222=⇒=+ρy x ，θθθθ22cos 2sin 2cos sin =⇒=， θθ42cos 2cos 1=-，解得：421cos 2πθθ==，， ⎰⎰⎰⎰+=+402cos sin 2)sin cos ()(πθθρρθρθρθσd f d d y x f D．3． 用极坐标计算下列积分 **(1)dy y x dx x xx ⎰⎰--+22442210；解：将二次积分⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx 看作二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化来，224410:x y x x x D -≤≤-≤≤，，令θρθρsin ,cos ==y x ，则： 2cos 4≤≤ρθ， 如图，两圆交点)3,1(),(=y x ，即)3,2(),(πθρ=，所以⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx ⎰⎰⋅=232cos 4ππθρρρθd d⎰⎰-==233232c o s 43)c o s 36438()31(ππππθθθθρd d ⎰--⨯=232s i n )s i n 1(364638ππθθπd ]3s i n 2s i n [31364)3sin 2(sin 3649433）（）（πππππ-⋅+--=38912894+-=π．**(2)⎰⎰-2122arctany ydx xydy ． 解：()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=220,1,2y y x y y x D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=40,10,πθρθρ，∴64arctan 2104012202πθρρθθπ=⋅=⎰⎰⎰⎰-d d d dx x y dy y y．**4．设),(y x f 是连续函数，将二次积分ρρθρθρθρρθρθρθππππd )sin ,cos (d d )sin ,cos (d 43222⎰⎰⎰⎰+-aa f f ，)0(>a化为在直角坐标系下先对y 后对x 的二次积分．解：原式=⎰⎰⎰⎰------+0220222222),(),(a x a xax a x a dy y x f dxdy y x f dx．5． 计算下列二重积分***(1)⎰⎰+Dx y d yx eσ22arctan ，其中}3,41),{(22x y x y x y x D ≤≤≤+≤=． 解：在极坐标变换θρθρsin ,cos ==y x 下，x y x 3≤≤，有3tan 1≤≤θ，即34πθπ≤≤，又 4122≤+≤y x ， 则 412≤≤ρ，即21≤≤ρ，所以⎰⎰+Dxy d y x eσ22arctan⎰⎰⎰==3421)arctan(tan 34ππθθππθρρθd e d e d 4334ππππθe e e -==． ***(2)⎰⎰Dxydxdy e，其中(){}x y x xy y x D 2,21,≤≤≤≤=．解：⎰⎰=θθθθθθρπρρθsin cos 2sin cos 1cos sin 2arctan 42d ed I⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2arctan 4sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos 121πθθθθθθρθθθd e()⎰-=2arctan 421sin cos 121πθθθd e 2ln 22e e -=6． 计算下列平面区域的面积：*(1) 计算由抛物线y =x 2及直线y =x +2围成区域的面积．解： ∵x 2 = x +2 即 x =－1, x =2． ∴交点为(－1,1)与(2，4)A=⎰⎰-+2122x xdy dx=⎰--+212)2(dx x x =214．**(2) }cos 121|}cos ,cos {(ϕρϕρϕρ+≤≤=D ． 解：⎰⎰=Dd A σ。