第九章多元函数的微分法及其应用§ 1多元函数概念1、设.答案：2、求下列函数的定义域：(1)(2)3、求下列极限：(1)（0）(2)(0)§ 2偏导数1、设z=,验证证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与x轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设u=(x2+yz3) 3，求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ，=3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)2 3(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设，证明:6、设，求。

解：7、设函数在点处的偏导数存在，求§ 3全微分1、单选题（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .(A) 必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件（2）对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：(1) 设求dz解:(2) 设函数( 为常数且）求. 解:；；；(3)解：3、设，求dz½(1,1)解: ,4、设,求：5、讨论函数在(0,0)点处的连续性、偏导数、可微性。

解：，所以在(0,0)点处连续。

，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则１、设，求解：2、设，求3、设,，其中具有二阶连续偏导数，求。

解：；4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，解：,,=,5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。

解：6、设，，证明：。

证：；类似可求得；。

所以。

§ 5隐函数的求导公式1、设，求解：令，2、设是由方程确定，求。

解：=3、设,其中可微。

证明:解：;=+y=4、设，求，( ，)5、设由方程所确定，可微，求解：令，则6、设函数是由方程所确定，求。

解：ÞÞ7、设由方程所确定，证明：。

证：；所以§6微分法在几何中的应用1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为法平面方程2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为，法平面方程：3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。

解：设，则；；。

在点(1,1,1)处；；，所以法向量切平面方程是：，即；法线方程是：§7方向导数与梯度1、设函数，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。

2)在点(1,3)处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到最小值的方向为。

2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数。

解：，，所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。

4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。

解：，§8多元函数的极值及求法1、求函数的极值。

答案：（，）极小值点2、设函数由方程确定，求函数的驻点。

解：设Þ驻点是(0,0)。

3、求的极值。

解：；。

令=0,=0，得Þ=2；=-1；=1；在(1,0)点处=2，，=1，>0,函数在(1,0)点处有极值，且由于A=2>0取极小值。

4、求函数在条件下的条件极值。

解：，极小值为5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）6、旋转抛物面被截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。

解：设为椭圆上的点，原点到的距离为，且满足条件：,。

设令得方程组：解得：，,,根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以为最小距离；为最大距离。

7、在第一卦限作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：椭球面上的点。

设，则在点的切平面法向量是，切平面方程：切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：。

要求体积的最小值，只要求在条件下的最大值即可。

设：,,,令=0,=0,=0，并与条件联立解得由于根据实际情况，体积的最小值存在，且所求得驻点唯一，所以即为所求。

第九章自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数则[ B ]A、存在；B、不存在；C、存在，且在(0,0)处不连续；D、存在，且在(0,0)处连续。

2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[ B ]A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。

3、函数在(0,0)点处[ D ]A、极限值为1；B、极限值为-1；C、连续；D、无极限。

4、在处，存在是函数在该点可微分的[ A ]（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。

5、点是函数的[ B ]（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；（C）极大值点；（D）最大值点。

6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是[ C ]（A）；（B）；（C）；（D）7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么[ B ](A); (B) ;(C) ; (D)二、填空题：（每题３分，共18分）1、（0 ）２、设，则（）３、设则( 0 )４、设，则在点处的全微分dz=( )。

５、曲线在点处的切线方程为( )６、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数。

解：2、设，求的二阶偏导数。

解：,,,,,3、设具有各二阶连续偏导数，求解：４、设求和。

解：不存在，故不存在，同理，也不存在。

当时，有5、设，求：。

解：1+Þ6、设，且具有二阶连续偏导数，求：，，。

解：，7、，求：。

解：，，==四、试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

解：设三个正数为，则，记，令则由解出。

第十章重积分§ 1二重积分的概念与性质1、设D由圆求的值解：由于D的面积为, 故=2、由二重积分的几何意义求二重积分的值其中D为：( 解：=)3、设f(t)连续，则由平面z=0，柱面和曲面所围的立体的体积可用二重积分表示为（）4、设D为圆域若二重积分=，求a的值。

解：=5、设D：，，比较与的大小关系解：在D上，,故§ 2二重积分的计算法1、设，其中D是由抛物线与直线y=x-4所围成的平面闭区域区域，则I=（ A ）A ：B ：C： D ：2、设D是由不等式所确定的有界区域，则二重积分为（ B ）A ：0 B：C： D：13、设D是由直线x=0,y=2及y=x所围成的区域，则二重积分的值为（ C ）A： B ： C ：D：4、设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为（ D ）A BC D5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重积分为（ A ）A BC D6、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1上的连续函数，则二重积分为（ B ）A BC D7、设f(x,y)为连续函数，则交换积分次序的结果为( C )A BC D8、设I=,交换积分次序后I为：( D )9、改变二次积分的次序：（=）10、求，其中由x=2,y=x,xy=1所围成.（) 11、设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求的值解：=12、计算二重积分，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}解：=13、计算二重积分，其中D是圆域解：=14、设I=,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I（解：I=)15、计算二重积分，D：围成的闭区域（解：=）§ 3三重积分1、设是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则化为三次定积分的结果为( A )A BC D2、设是由曲面x2+y2=2z ,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分表示为累次积分，则I=（ B ）A BC D3、设是由所确定的有界闭域，求三重积分解：先二后一法，==24、设是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求()5、设是球域：，求(利用偶倍奇零法。

因函数关于z为奇函数，区域是球域关于xoy面对称，所以原式=0) 6、计算其中为：平面z=2与曲面所围成的区域()7、计算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域(2/27))§4重积分的应用1、求由曲面=2x, =4x,y=x,y=0所围成的图形面积 A2、求曲面包含在圆柱部的那部分面积解：3、求圆柱体包含在抛物面和xoy平面之间那部分立体的体积解：4、曲面将球面分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1, s2, s3, 求s1:s2:s3解：第十章自测题一、选择题: （40分）1、=( D )A BC D .2、设为,当( C )时,.A 1BC D3、设,其中由所围成,则=( B ).A; BC D.4、设是由三个坐标面与平面=1所围成的空间区域,则=( A ).A B C D .5 、设为连续函数，则( A ).A BC D .6、计算,围成的立体,则正确的为(B )和（C）A BC D .7、曲面包含在圆柱部的那部分面积(D )A B C D .二、计算下列二重积分:（20分）1、,其中是闭区域:(原式=)2、,其中是由直线及圆周,所围成的在第一象限的闭区域 . (原式)3、,其中是由围成的闭区域( 原式) 4、,其中:.() 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）1、（）2、(=)3、 (=)四、计算下列三重积分:（15分）1、其中是由平面上曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域。

()2、:所围成的闭区域(原式)（或用球坐标计算，原式=)五、（5分）设为连续函数，且，其中D是由所围成的区域，求解：设，则六、（5分）设在上连续,试证:==第十一章曲线积分与曲面积分§ 1 对弧长的曲线积分1、设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时，A.0B.C.D.ABC都不对2、设是以点为顶点的正方形边界,则=A. 4B.2C.D.3、有物质沿曲线：分布，其线密度为，则它的质量A. B. C. D.4．求其中L为由所围区域的整个边界。

解：5．其中L为双纽线。

解：原积分=6．其中L为。

原积分7．其中L为球面与平面的交线。

解：将代入方程得于是L的参数方程：，又原积分=§2 对坐标的曲线积分1.设关于轴对称，表示在轴上侧的部分，当关于是偶函数时， A.0 B. C. D.ABC都不对2．设为的正向，则 A.0 B.4 C.2 D.-23．为的正向， A.2 B.-2 C.0 D.4．，其中由曲线从到方向解：5．其中是正向圆周曲线解：由奇偶对称性，：6．其中为从点到的有向线段解：方程：，7、过和的曲线族，求曲线使沿该曲线从到的积分的值最小解：。