2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=（）A．7 B．9 C．11 D．122．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则（）A．￢p：∃x∈R，x2≥0 B．￢p：∃x∈R，x2＜0 C．￢p：∃x∈R，x2≤0 D．￢p：∀x∈R，x2＜03．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2+b2＞ab B．＜0 C．a2＞b2D．2a＜2b4．数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件5．在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A．抛物线及原点B．双曲线及原点C．抛物线、双曲线及原点D．两条相交直线6．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．﹣B．C．7 D．147．函数f（x）=x（e x﹣1）+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2ex﹣e﹣1 B．y=2ex﹣e+1 C．y=2ex+e﹣1 D．y=2ex+e+1 8．若正实数x，y满足不等式2x+y＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．[﹣4，2]B．（﹣4，2）C．（﹣2，2]D．[﹣2，2）9．已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）2=4的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．6 B．1 C．5 D．310．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．11．已知f（x）的图象关于原点对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=，，则下列关系式正确的是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c12．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．（0，2]D．[2，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上）13．已知双曲线=1（a＞b，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且经过点，则该双曲线的方程为．14．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），则关于x的不等式bx2﹣a＞0的解集为．15．已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}，B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}，设集合C=A∩B，则集合C 所对应的平面区域的面积为．16．设f（x）是定义域R上的增函数，∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（3）=3，记a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知条件p：∃m∈[﹣1，1]使不等式a2﹣5a+5≥m+2成立；条件q：x2+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+ax﹣a2lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在区间[1，a]上的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若对n∈N*恒成立，求实数c的取值范围．20．已知圆G：x2+y2﹣x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=．（1）求a，b的值；（2）证明不等式1﹣x﹣xlnx＜．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP和椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB和△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1和S2，且≤9，求S1S2的最大值．2015-2016学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案和试题分析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=（）A．7 B．9 C．11 D．12【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；规律型；函数思想；等差数列和等比数列．【分析】利用数列的求和公式，求解a5即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+1，则a5=S5﹣S4=25+1﹣16﹣1=9．故选：B．【点评】本题考查数列的前n项和，数列递推关系式的使用，考查计算能力．2．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则（）A．￢p：∃x∈R，x2≥0 B．￢p：∃x∈R，x2＜0 C．￢p：∃x∈R，x2≤0 D．￢p：∀x∈R，x2＜0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题是全称命题，则￢p：∃x∈R，x2＜0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．设a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2+b2＞ab B．＜0 C．a2＞b2D．2a＜2b【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及使用．【分析】分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：对于选项A：由a＞b，得：a﹣b＞0，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab＞0，∴a2+b2＞2ab，若a，b同号，则2ab＞ab，于是：a2+b2＞ab，若a，b异号，则ab＜0，于是：a2+b2＞ab，故A正确，对于选项B：由a＞b得：b﹣a＜0，若a，b同号，则＜0，若a，b异号，则＞0，故B错误；对于选项C：若a=1，b=﹣2，不成立，故C错误；对于D：由a＞b得：2a＞2b，故D错误；故选：A．【点评】本题考察了不等式的性质，考察分类讨论思想，是一道基础题．4．数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件和充要条件的判断．【专题】定义法；等差数列和等比数列；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时，=为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时，===q，=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．5．在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A．抛物线及原点B．双曲线及原点C．抛物线、双曲线及原点D．两条相交直线【考点】曲线和方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质和方程．【分析】由题意，=0，即可得出结论．【解答】解：由题意，=0，∴y=±x，故选：D．【点评】本题考查曲线和方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=2（a2+a3），则=（）A．﹣B．C．7 D．14【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列和等比数列．【分析】设出等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意列式得到a1和d的关系，代入得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2（a2+a3），得a1+3d=2（a1+d+a1+2d），整理得：a1=﹣d．∴=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．7．函数f（x）=x（e x﹣1）+lnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2ex﹣e﹣1 B．y=2ex﹣e+1 C．y=2ex+e﹣1 D．y=2ex+e+1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；导数的综合使用．【分析】求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；【解答】解：∵f（x）=x（e x﹣1）+lnx，∴f′（x）=（x+1）e x+﹣1则f（1）=e﹣1，f′（1）=2e故曲线y=f（x）在点（1，e﹣1）处的切线方程为y﹣e+1=2e（x﹣1）=2ex﹣2e，即y=2ex﹣e﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查导数的使用，要求熟练掌握导数的几何意义．8．若正实数x，y满足不等式2x+y＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．[﹣4，2]B．（﹣4，2）C．（﹣2，2]D．[﹣2，2）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及使用．【分析】由约束条件作出可行域，令z=x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合求得x﹣y 的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知当直线y=x﹣z过A时，z=﹣4；当直线y=x﹣z过B时，z=2．∴x﹣y的取值范围是（﹣4，2）．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知点P为抛物线C：y2=4x上一点，记P到抛物线准线l的距离为d1，点P到圆（x+2）2+（y+4）2=4的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．6 B．1 C．5 D．3【考点】圆和圆锥曲线的综合．【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．【分析】由抛物线定义知：P到准线距离等于P到焦点A的距离，连结圆心B和A，交圆于C，AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置．由此能求出结果．【解答】解：∵点P是抛物线y2=4x上的点，点P到抛物线的准线的距离为d1，P到圆（x+2）2+（y+4）2=4上的动点Q距离为d2，由抛物线定义知：P到准线距离等于P到焦点A的距离，∴如图，连结圆心B和A，交圆于C，AB交抛物线的点即为使d1+d2最小时P的位置．∴（d1+d2）min=|AC|，∵B（﹣2，﹣4），A（1，0），∴|AB|==5．|BC|=2．∴|AC|=5﹣2=3．故选：D．【点评】本题考查和抛物线有关的两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线性质．10．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；导数的综合使用；等差数列和等比数列．【分析】利用递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，，∴a1=T1=22=4．n≥2时，a n===22n=4n．当n=1时上式也成立，∴a n=4n．则===g（n），考察函数f（x）=x+（x≥2）的单调性，f′（x）=1﹣==，当2≤x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当＜x，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．又g（2）=22+=7，g（3）=23+=＞g（3）．∴的最小值为7．故选：A．【点评】本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11．已知f（x）的图象关于原点对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=，，则下列关系式正确的是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；转化思想；导数的综合使用．【分析】由已知中f（x）﹣xf′（x）＞0，结合导数的运算性质（）′=（u′v﹣uv′），构造函数h（x）=，利用h′（x）的符号，判断h（x）的单调性问题很容易解决．【解答】解：令h（x）=，∵f（x）的图象关于原点对称，∴h（x）是R上的奇函数，又∵当x＜0时，f（x）﹣xf′（x）＞0，∴h′（x）=＜0，∴函数h（x）在x∈（﹣∞，0）时为单调递减函数；∴h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递减函数．a=，=，a==；b=；﹣2＜＜﹣logπ3可得：c＞a＞b．故选：A．【点评】本题考查的考点和方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．12．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2|，则此双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．（0，2]D．[2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质和方程．【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，a≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的范围．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|，可得2|PF2|=2a，即|PF2|=a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|≥c﹣a，即a≥c﹣a，即为c≤2a，则e=≤2，可得1＜e≤2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率公式的运用，由点P在双曲线的右支上，可得|PF2|≥c﹣a，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上）13．已知双曲线=1（a＞b，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且经过点，则该双曲线的方程为x2﹣y2=﹣1．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．【分析】根据题意，设双曲线的方程为（x+y）（x﹣y）=λ（λ≠0），代入点即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线的方程为（x+y）（x﹣y）=λ（λ≠0），即x2﹣y2=λ，∵双曲线过点．∴2﹣1=λ，∴λ=1，∴x2﹣y2=﹣1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是设双曲线的方程为（x+y）（x ﹣y）=λ（λ≠0）．14．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），则关于x的不等式bx2﹣a＞0的解集为（﹣，）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；转化法；不等式的解法及使用．【分析】由题意可得a=2b＜0，从而化简不等式为x2﹣2＜0，从而解得．【解答】解：∵ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣），∴﹣a+b=0且a＜0；故a=2b＜0，故bx2﹣a＞0可化为x2﹣2＜0，故﹣＜x＜；故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了方程的根和不等式的根的关系使用及不等式的化简运算．15．已知集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}，B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}，设集合C=A∩B，则集合C 所对应的平面区域的面积为16．【考点】交集及其运算．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及使用；集合．【分析】画出集合A、B表示的平面区域，找出它们的公共部分，求出面积即可．【解答】解：画出集合A={（x，y）||x|+|y|≤4}表示的平面区域，画出集合B={（x，y）||y|﹣|x|≤0}表示的平面区域，如图所示：取出它们的公共部分，即集合C=A∩B所表示的平面区域正方形OABC和正方形ODEF；则集合C所对应的平面区域的面积是2×4×4=16．故答案为：16．【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的使用问题，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解答本题的关键，是基础题目．16．设f（x）是定义域R上的增函数，∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（3）=3，记a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n=．【考点】数列和函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及使用；等差数列和等比数列．【分析】令x=y=1，以及x=1，y=2，结合条件f（3）=3，可得f（1），再令x=n，y=1，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：令x=y=1，可得f（2）=2f（1）﹣1，再令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）+f（2）﹣1=3f（1）﹣2，由f（3）=3，可得f（1）=，令x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）+f（1）﹣1=f（n）+，即为a n+1﹣a n=，且a1=，可得数列{a n}为首项为，公差为的等差数列，可得S n=na1+n（n﹣1）d=n+n（n﹣1）=．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和的求法，注意运用等差数列的求和公式，同时考查抽象函数的运用，注意运用赋值法的运用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知条件p：∃m∈[﹣1，1]使不等式a2﹣5a+5≥m+2成立；条件q：x2+ax+2=0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断和使用．【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑．【分析】利用p∨q为真，p∧q为假，说明p，q一真一假．求出命题p：得到a≤1或a≥4．对于条件q，得到，然后推出a的取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一真一假．由题设知，对于条件p，∵m∈[﹣1，1]，∴m+2∈[1，3]，∵不等式a2﹣5a+5≥1成立，∴a2﹣5a+4≥0，解得a≤1或a≥4．对于条件q，∵a2+a+2=0有两个负数解，∴，∴，…若p真q假，则a≤1；若p假q真，则，∴a的取值范围是：a≤1或，…【点评】本题考查命题的真假的判断，复苏苗头的真假，考查逻辑推理能力以及计算能力．18．已知函数f（x）=x2+ax﹣a2lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求函数f（x）在区间[1，a]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合使用．【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过①当a＞0时，②当a=0时，③当a ＜0时，判断导函数的符号，求出单调区间即可．（2）通过f′（x）=0时，解得．①当，②当，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），∵，①当a＞0时，令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得．②当a=0时，f′（x）=2x＞0恒成立，所以f（x）只有增区间（0，+∞）．③当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＞﹣a；令f′（x）＜0，解得0＜x＜﹣a，…综上：当a＞0时，f（x）的增区间为；减区间为；当a=0时，f（x）只有增区间（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的增区间为（﹣a，+∞）；减区间为（0，﹣a）…（2）∵，∴f′（x）=0时，解得．∵a＞1，∴，由（1）可知①当，即0＜a≤2时，f（x）在区间[1，a]上单调递增．∴f（x）min=f（1）=a+1；②当，即a＞2时，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴…综上：，…【点评】本题考查函数的导数的使用，函数的最小值的求法，单调区间的求法，考查计算能力分类讨论思想以及转化思想的使用．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若对n∈N*恒成立，求实数c的取值范围．【考点】数列和函数的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；综合法；等差数列和等比数列．【分析】（1）利用已知条件，通过a n=s n﹣s n，判断数列是等比数列，然后求解通项公式．﹣1（2）利用数列裂项求和，然后利用不等式推出结果即可．【解答】解：（1）∵，①当，∴a1=1，当n≥2，∵，②①﹣②：，即：a n=3a n（n≥2）…﹣1又∵a1=1，∴对n∈N*都成立，所以{a n}是等比数列，∴…（2）∵，∴，∴，∴，…∵，∴T n＜3对n∈N*都成立…∴3≤c2﹣2c，∴c≥3或c≤﹣1，∴实数c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和以及数列和不等式的关系，考查分析问题解决问题的能力．20．已知圆G：x2+y2﹣x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【考点】直线和圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线和圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质和方程．【分析】（1）利用圆经过点F，B．求出F，B，得到c，b，求出a．写出椭圆的方程．（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．联立方程组消去y，设C（x1，y1），D （x2，y2），利用韦达定理，结合数量积相遇0，求解m的范围．【解答】解：（1）∵圆经过点F，B．∴，∴，∴a2=4．故椭圆的方程为，…（2）设直线l的方程为y=﹣（x﹣m）（m＞2）．由消去y得7x2﹣8mx+（4m2﹣12）=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，…∴．∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），…∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2=…∵点F在圆G的内部，∴，即，解得，由△=64m2﹣28（4m2﹣12）＞0，解得．又m＞2，∴，…【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系的综合使用，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数f（x）=（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=．（1）求a，b的值；（2）证明不等式1﹣x﹣xlnx＜．【考点】导数在最大值、最小值问题中的使用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；导数的综合使用．【分析】（1）利用导数值以及切线的斜率，以及函数值求出a、b即可．（2）令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出导数，判断单调性，求出函数的最值，得到1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）=e x﹣（1+x），判断q（x）单调递增，证明不等式．【解答】解：（1）由得．由已知得，解得a=b．又，即b=1∴a=b=1，…（2）证明：令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p′（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p′（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．①…设q（x）=e x﹣（1+x），则q′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）=0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）=e x﹣（1+x）＞0，即．②…由①②得…【点评】本题考查函数的导数的使用，函数的最值的求法，考查计算能力，考查分析问题解决问题的能力．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP和椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB和△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1和S2，且≤9，求S1S2的最大值．【考点】直线和圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值和范围问题．【分析】（Ⅰ）依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e=，得椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），由k AP=k AT，和点P和点T分别在双曲线和椭圆上，能证明x1x2=1．（Ⅱ）由，得，由点P是双曲线在第一象限的点，得1＜x1≤2，由已知得===（1﹣x22）（），由此推导出当x1=2时，（S1S2）max=．【解答】（Ⅰ）证明：依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e==，解得b2=2，∴椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则k AP=，k AT=，∵k AP=k AT，∴，即，∵点P和点T分别在双曲线和椭圆上，∴，，即，，∴，∴，∴．∴x1x2=1．（Ⅱ）解：设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则=（﹣1﹣x1，﹣y1），，∵，∴（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+≤9，∴，∵P在双曲线上，∴，∴，∴，∵点P是双曲线在第一象限的点，∴1＜x1≤2，∵S1=，，∴===（1﹣x22）（）由（Ⅰ）知，x≤﹣2．设﹣1≤x≤1，则f（x）=2＜4，．∵f（t）=t+在区间（1，4]上单调递增，f（t）max=f（4），∴=t+﹣2，即当x1=2时，（S1S2）max=．【点评】本题考查两点横坐标之积为1的证明，考查两三角形面积之积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．。