求解函数定义域、值域、解析式【课堂笔记】知识点一 定义域、值域的定义在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。

下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。

（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。

（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。

（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。

（3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。

（4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。

（5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。

（6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。

（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有意义的公共部分的集合。

（8）复合函数的定义域问题：①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。

【例1】求下列函数的定义域（1）1+=x y （2）x y -=21（3）0)1(21-+-=x xy【例2】 求下列函数的定义域（1）xy ++=1111； （2）142--=x x y ；（3）232-751x x y +-=； （4）111032---+=x x x y【当堂检测】 1. 函数xx x y 432+--=的定义域为（ ）A. [-4,1]B. [)0,4-C. (]1,0D. [)(]1,00,4⋃- 2．函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ）A. }0{≥x xB. }1{≥x xC. {0}}1{Y ≥x xD. }10{≤≤x x 3.求下列函数的定义域 （1）23)(+=x x f （2）x x x f -++=211)( （3）xx x f ++-=511)(知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。

2. 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)(）（x g f 的定义域是指满足不等式b x g a ≤≤)(的x 的取值集合。

一般地，函数)(）（x g f 的定义域为],[b a ，指的是],[b a x ∈，要求)(x f 的定义域，就是求],[b a x ∈时)(x g 的值域。

【例1】已知)(x f y =的定义域为]2,0[，求 ①)(2x f ；②)12(-x f ；③)2(-x f 的定义域。

【例2】已知函数)1(2-x f 的定义域为]1,0[，求)(x f 的定义域。

【例3】已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域。

【当堂检测】1、已知)(x f 的定义域为]2,0[，求)1(+=x f y 的定义域。

2、已知)1(+=x f y 的定义域为]2,0[，求)(x f 的定义域。

3、已知函数)1(+x f 的定义域为[-2,3），求)21(+xf 的定义域。

知识点三 函数解析式求法1.待定系数法当已知函数)(x f 的类型时，要求函数)(x f 的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方程（组）求解。

如已知)(x f 为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设b kx x f +=)(（0≠b ），将已知点的坐标代入得⎩⎨⎧=+=01b k b ，解得此方程组得⎩⎨⎧=-=11b k ，故1)(+-=x x f 。

【例1】 设1613)13()2(2-+=++x x x f x f ，求)(x f 。

【例2】已知函数2)(x x f =，)(x g 为一次函数，且一次项系数大于0，若25204)]([2+-=x x x g f ，求)(x g 的解析式。

【当堂检测】1、若2627)))(((+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式。

2、若)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

2.配凑法已知)]([x g f 的解析式，要求)(x f 时，可从)]([x g f 的解析式中拼凑出“)(x g ”作为整体来表示，再将解析式两边的)(x g 都用x 代替即可。

如已知1)1(2++=+x x x f （此解析式中的)(x g = 1+x ），求)(x f 时，可整理22)1(1)1(+=++=+x x x x f ，用x 代替等号两边的1+x ，得2)(x x f =。

【例3】 已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；【当堂检测】1. 已知xx x x x f 11)1(22++=+，求)(x f2. 已知2)1()1(xx x x f +=-，求函数)(x f 的解析式；3.换元法令)(x g t =，等价变换为用t 表示x 的解析式。

然后求出)(t f 的解析式，最后用x 代替等式两边所有的t 即可。

如已知1)1(2++=+x x x f ，令1+=x t ，则1-=t x ，所以221)1(2)1()(t t t t f =+-+-=，故2)(x x f =。

【例4】 若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。

【当堂检测】1. 已知2)1(2++=+x x x f ，求)3(),()3(+x f x f f 及2. 已知),0(5)1(2≠+=x x x xf 求)(x f 的解析式。

3.已知函数x x x f 21+=+）（，求函数)(x f 的解析式。

4.方程组法当关系式中同时含有)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1(x f 时，常将原式中的x 用x -（或x1）代替， 从而得到另一个同时含)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出)(x f 。

如已知)0()1()(2≠-=+x x x f x f ，求)(x f 的解析式时，可将原式中的x 用x1代替，可得)0(1)()1(2≠-=+x x x f x f ，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x f x f x xf x f 1)()1(2)1()(2得x x x f 3132)(+-=。

【例5】 设x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式。

【当堂检测】1.若,,4)43()34(22b a x x bf x af ≠=-+-求)(x f 的解析式。

2. 已知)1,0(1)1()(≠+=-+x xxx f x f ，求)(x f 的解析式。

5.特殊值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。

至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

【例6】设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数y x ,有)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的解析式。

知识点四 函数值域的求法【重点、难点】1. 观察法通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域，求函数的值域。

如求函数112+=x y 的值域，由02≥x 得112≥+x ，再求倒数得11102≤+<x ，故其值域为]1,0(。

【例1】 求下列函数的值域：（1）}5,4,3,2,1{,12∈+=x x y ； （2）1+=x y2. 配方法【例2】求函数245x x y -+=的值域。

3. 换元法通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。

【例3】 求函数12-+=x x y 的值域。

4. 分离常量法将形如)0(ad bc ac bax dcx y ≠≠++=且的函数分离常数，变形过程为b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx +-+=+-++=++)(，再结合x 的取值范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域。

【例4】 求函数2415+-=x x y 的值域。

5. 判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。

【例5】 求函数122+--=x x xx y 的值域。

【当堂检测】求下列函数的值域：（1）52+=x y （2）)5,1[,642∈+-=x x x y （3）R x x x y ∈++-=,4124（4）12--=x x y （5）5312++=x x y 。

知识点五 函数定义域、值域的逆向应用 1. 函数定义域的逆向应用定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的范围。

【例1】 （1）若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

（2）判断k 为何值时，函数12822++-=kx kx kx y 关于x 的定义域为R 。

2. 函数值域的逆向应用【例2】求使函数1222+--+=x x ax x y 的值域为)2,(-∞的a 的取值范围。

知识点六 数学思想方法 方法一 分类讨论思想.*方法二 函数与方程思想【例2】 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

方法三 转化思想【例3】 求函数x x y 21--=的值域。

第二部分：【小试牛刀】1. (全国考高Ⅰ)函数x x y +-=1的定义域（ ）2. (全国高考)函数x x x +-=)1(y 的定义域（ ） A. }0{≥x x B. }1{≥x x C. {0}}1{Y ≥x x D. }10{≤≤x x3.（上海高考）函数16)(2-++-=x x x x f 的定义域____________. 4. (江西高考)函数x x x x f 43)(2+--=的定义域______________. 5.求下列函数的定义域：（1）2322---=x x x y （2）x x y -⋅-=11； （3）xy --=113 （4）2253x x y -+-=6. 复合函数求定义域（1）已知函数)(x f 的定义域为]23,21[-，求)0)(()()(>+=a ax f ax f x F 的定义域。