最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改专题复习(七)几何图形综合题几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1操作探究题(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°.∴△APP′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，∴PP′＝ 2.∵P′B＝PD＝10，PB＝22，∴P′B2＝PP′2＋PB2.∴∠P ′PB ＝90°.∵△APP ′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°.∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B 作BM⊥AQ 于M.∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形． 由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2. ∴AM ＝AP ＋PM ＝3. 在Rt△ABM 中， AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ ，∴AQ ＝133.在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313.∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·自贡)在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝35，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C.图1图2(1)如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2 动态探究题(2015·乐山)如图1，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tanA ＝43.(1)求CD 边的长；(2)如图2，将直线CD 边沿箭头方向平移，交DA 于点P ，交CB 于点Q(点Q 运动到点B停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【思路点拨】(1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；(2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．【解答】(1)分别延长AD、BC相交于E.在Rt△ABE中，∵tanA＝4，AB＝3，∴BE＝4.3∵BC＝2，∴EC＝2.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65.(2)∵∠B ＝∠ADC ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴∠ECD ＝∠A. ∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43.∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85. 如图4，由PQ∥DC ，可知△EDC∽△EPQ ，∴ED EP ＝DCPQ .∴8585＋x ＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x. ∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ， ∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x.如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE≌△HQC ，从而得CH ＝ED ＝85， ∴自变量x 的取值方范围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·成都)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC的同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.(1)求证：AC＝AD＋CE；(2)若AD＝3，AB＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.的值；①当点P与A，B两点不重合时，求DPPQ②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·绵阳)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．类型3类比探究题(2015·成都)已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE ＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF ； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE＝3，求k 的值；(3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE∽△CBF ，进而证明∠EBF ＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°， ∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CECF ＝2，∴△CAE ∽△CBF.②∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF. 又∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°. ∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3.∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°， 由AB BC ＝EFFC ＝k ，可得BC∶AB∶A C ＝1∶k∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k∶k 2＋1.∴AC BC ＝AE BF ＝k 2＋1.∴BF ＝AEk 2＋1，BF 2＝AE2k 2＋1.∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)，即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104.(3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°，过C 作CH⊥AB ，交AB 延长线于H ，可解得AB2∶BC2∶AC2＝1∶1∶(2＋2)，EF2∶FC2∶EC2＝1∶1∶(2＋2)，∴p2＝(2＋2)EF2＝(2＋2)(BE2＋BF2)＝(2＋2)(m2＋n22＋2)＝(2＋2)m2＋n2.∴p2－n2＝(2＋2)m2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·乐山)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且MN∥AD ，记AD ＝a ，BC ＝b.若AM MB ＝mn ，则有结论：MN ＝bm ＋an m ＋n.请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE ，CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1，PP 2，PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3.(1)若点P 为线段EF 的中点．求证：PP 1＝PP 2＋PP 3；(2)若点P 为线段EF 上的任意位置时，试探究PP 1，PP 2，PP 3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．参考答案类型1操作探究题1．(1)①证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵B1C＝BC，∴∠CB1B＝∠B.又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB，∴∠CB1B＝∠A1CB1.∴BB1∥CA1.②过A 作AG⊥BC 于G ，过C 作CH⊥AB 于H.∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ， ∴BG ＝CG.∵在Rt△AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5，∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH. ∵在Rt△BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35，∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245.∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225.(2)过点C 作CF⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小． 此时在Rt△BFC 中，CF ＝245.∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95.以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365.2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°，∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B ，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1. (2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°， ∴P 1D ＝12AP 1＝1.∵∠P 1CD ＝45°， ∴CP 1＝2P 1D ＝ 2. ∵CP 1＝CQ ， ∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， ∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°， ∴∠CBE ＝30°. ∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE ， ∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC∶BC ＝3∶1. 设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt△ABC 中，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36，∵－36<0， ∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt△AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332. ∴S △ABC ＝3×3232＝934.(2)如图1，当0＜x≤1.5时，y ＝S △ADE .图1作AG⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°. ∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x ×32x2＝34x 2.如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG⊥DE 于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x. ∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3.∴MG ＝32(3－x)． ∴y ＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）.(3)当0＜x≤1.5时，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ＝1.5时，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934，∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334.∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316，∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1. 作FO⊥DE 于O ，连接MO ，ME. ∴DO ＝OE ＝1.∴DM ＝DO. ∵∠MDO ＝60°， ∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM ＝60°，MO ＝DO ＝1. ∴MO ＝OE ，∠MOE ＝120°. ∴∠OME ＝30°. ∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π.类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD⊥BE ，A ，B ，C 三点共线， ∴∠ABD ＋∠CBE ＝90°. ∵∠C ＝90°， ∴∠CBE ＋∠E ＝90°. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A ＝∠C ，AD ＝BC ， ∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB ＝CE. ∴AC ＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF ＝∠QBF ＝90°，∠DFP ＝∠QFB ， ∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PFBF.又∵∠DFQ ＝∠PFB ，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA. ∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt△DPQ 和Rt△DAB 中，DP PQ ＝DAAB .∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5， ∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH⊥BC 于点H.∵PQ⊥DP ，∠A ＝∠H ＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5.∵AP ＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1. ∵EC⊥BH ，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203.在Rt△BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343. ∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343.2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S ＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24.当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6. ∴S ＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）.(3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t 45t ＋8＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝CB CD 时，85t 45t ＋8＝86，解得t ＝20. ∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上， 不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CD BC 时，35t ＋614－15t＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t＝86，解得t ＝19013.∵6≤t≤14，∴t＝19013时，点P不在边BC上，不合题意．∴当t＝6时，△PEO与△BCD相似．3.(1)当点M为AC的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C的重合时，BA＝BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM＝2时，AM＝AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，有AM＝BM，则△ABM为等腰三角形．(2)证明：在AB上取点K，使AK＝AN，连接KN.∵AB＝AD，BK＝AB－AK，ND＝AD－AN，∴BK＝DN.又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH＝45°.∴∠NDH＝90°＋45°＝135°.∵∠BKN＝180°－∠AKN＝135°，∴∠BKN＝∠NDH.∵在Rt△ABN中，∠ABN＋∠ANB＝90°，又BN⊥NH，即∠BNH＝90°，∴∠ANB＋∠DNH＝180°－∠BNH＝90°.∴∠ABN＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA)，∴BN＝NH.(3)①当M在AC上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF为等腰直角三角形．∵AM＝t，∴AF＝FM＝22t.∴S＝12AF·FM＝12·22t·22t＝14t2.当M在CG上时，即22＜t＜42时，CM＝t－AC＝t－22，MG＝42－t. ∵AD＝DC，∠ADC＝∠CDG，CD＝CD，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD ＝∠GCD ＝45°.∴∠ACM ＝∠ACD ＋∠GCD ＝90°.∴∠G ＝90°－∠GCD ＝90°－45°＝45°. ∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG ＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t. ∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t2＋42t －8.∴S ＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）.②在0＜t≤22范围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2；在22＜t ＜42范围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83.∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S. ∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES⊥BA ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER. ∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ， ∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3. ∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11，∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3.(2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES.过点F 作FM⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，则有FM ＝FN.点P 为EF 上任意一点，不妨设FPPE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝n m ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n . ∴ES ＝m ＋n mPP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝nm ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM ＝m ＋n n PP 3.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝mn，∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFM m ＋n＝m ·m ＋n m PP 2＋n ·m ＋n nPP 3m ＋n＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3.2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合．∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG. ∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°. 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF ＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF. ∴EF ＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF ＝12∠BAD ，理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠DAB 至△ADG ，使AB 与AD 重合． ∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG. ∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝12∠BAD.∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF ＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△E AF 和△GAF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝12∠BAD ，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF. ∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF，延长BA、CD交于点O.则∠BOC＝180°－∠B－∠C＝90°.∴△AOD为直角三角形．在Rt△AOD中，∠ODA＝60°，∠OAD＝30°，AD＝80米．∴AO＝403米，OD＝40米．∵OF＝OD＋DF＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO＝OF.∴∠OAF＝45°.∴∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠EAF＝90°－15°＝75°.∴∠EAF＝1∠2 BAD.∵∠BAE＝180°－∠OAF－∠EAF＝60°，∠B＝60°，∴△BAE为等边三角形．∴BE＝AB＝80米．由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(3＋1)≈109(米)．最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。