由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．其标准方程为2x52 ＋y92＝1 或2y52 ＋x92＝1.
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
• 新知导学
• 1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的 连轨结这迹两为点的线段的垂直平分线
______________________________．也曾 讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的 轨迹的情形．那么平面内到两定和点距离的和 (或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？ (1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧， 把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在 方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方． 4．椭圆的标准方程 ，参数 a、b(a>b>0)有什么意义？方程 ax22＋by22＝1 与ay22＋bx22＝1 有何不同？a、b、c 满足什么关系？
A．－1
B．1
C. 5
D．－ 5
• [答案] B
[解析] 由 5x2＋ky2＝5 得，x2＋y52＝1. k
∵焦点为(0,2)， ∴a2＝5k，b2＝1， ∴c2＝a2－b2＝5k－1＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ∴k＝1.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与 两焦点的距离的和等于 8，则椭圆的标准方程为________； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过 点( 3，－ 5)的椭圆的标准方程为________； (3)焦点在坐标轴上，且经过 A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点 的椭圆的标准方程为________________________． [答案] (1)1x62 ＋y72＝1 (2)2y02 ＋x42＝1 (3)31x02＋1y02 ＝1
• 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由 于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单， 必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使 已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能 简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过 两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，
一个焦点坐标是( )
A．(3,0)
B．(0,3)
C．(0,1)
D．(1,0)
• [答案] D
[解析] 由椭圆的标准方程x52＋y42＝1 可知，焦点在 x 轴上， 且 c＝ a2－b2＝ 5－4＝1，所以椭圆的焦点坐标为(±1,0)，故 选 D.
3．椭圆 5x2＋ky2＝5 的一个焦点是(0,2)，那么 k＝( )
• a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a、 b、c的关系如图．
当 a>b>0 时，方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，方 程ay22＋bx22＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大．
牛刀小试
2．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)椭圆x52＋y42＝1 的
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
(3)在椭圆方程中含两个待定系数，由椭圆过 A、B 两点建 立方程组可解，只需将方程设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
• 焦2点．平两面焦内点与两个定点F1、F2的距离的 _____线_段_|等F1F于2| 常数(大于|F1F2|)的点的不轨存在迹(或 集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ______，________间的距离叫做椭圆的焦 距．当常数等于|F F |时轨迹为__________，
• 牛刀小试 • 1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， • (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的
·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程 第二章
2.2 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程
第二章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程．