习题答案第1章三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==.(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以 .1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k-=+25C其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k=-25C法五：考虑对立事件：410C k=-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k ⋅⋅⋅-=其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410==C k p6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：1213102513==A A C p (2) 法二：20131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 1614)(3143==C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x ，y )：0 ? x ，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此2517154211)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间?={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则52)(,53)(1512===A P C C A P ，由全概率公式得由贝叶斯公式得15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，而B 被误收作A 的概率为，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少 解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”， 已知 所以由贝叶斯公式得16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为41,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)(321===A P A P A P 所以,43)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = ，P (A ∪B ) = ，求)(A B P .解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )将P (A ) = ，P (A ∪B ) = 代入上式解得 P (B ) = ，所以 或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少 解：设A =“甲射击目标”，B =“乙射击目标”，M =“命中目标”， 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A MP 所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，，；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是时，情况又如何解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，P (A 1)=，P (A 2)=，P (A 3)=，P (B 1)=,P (B 2)=, 第一种工艺加工得到合格品的概率为P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=⨯⨯第二种工艺加工得到合格品的概率为P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=⨯可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为，而P (B 1)=P (B 2)=, 第二种工艺加工得到合格品的概率为P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=⨯可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ?，,21)()()(<==C P B P A P 且已知169)(=C B A P ，求P (A )．解：因为ABC = ?，所以P (ABC ) =0, 因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()(C P B P A P ==所以由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=得169)]([3)(32=-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)(<A P 得.41)(=A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是21，且)()(C B A P ABC P =，证明： 21)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ． 证明：因为)()(C B A P ABC P =，所以)]()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将21)()()(===C P B P A P 代入上式得到 整理得3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|(=B A P ，试证A 与B 独立．证明：因为P (A |B ) +1)|(=B AP ，所以将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到 所以A 与B 独立.4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件．证明：充分性，由于)|()|(A B P A B P =，所以,)()()()(A P B A P A P AB P =即两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以一方面 另一方面 所以).|()|(A B P A B P =5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2p.(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P === 由全概率公式得(1) 他取得该资格的概率为(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知,31)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P由全概率公式,1011091)(1)(=-=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为和．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率． 解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i,4.0)(=A P 所以所求概率为,)|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==由于三次检验是独立进行的，所以8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于和.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少 (2) 都不被击毁的概率等于多少解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,3.0)()(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以(1) 火炮被击毁的概率为 坦克被击毁的概率为 (2) 都不被击毁的概率为9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是21，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,21)()()(====i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为,71...212121...)(963987654321654321321=+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,71丙得冠军的概率为,72712=⨯甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=-第二章2一、填空题： 1. {}x X P≤，)()(12x F x F -2. ==}{k XP k n kk np p C --)1(，k = 0，1，…，n3. 0,!}{>==-λλλe k k X P k为参数，k = 0，1，…4.λ+11 5. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0 ,1)(b x a a b x f 6.+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ7. +∞<<-∞=-x e x x ,21)(22πϕ8. )()(σμσμ-Φ--Φa b9.分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。