6
理论证明静水压力具有各项同性
四面体体积：V 1 xyz
6
总质量力在三个坐标
方向的投影为：
Fpx

1 6
xyzf x

Fpy

1 6
xyzf y
按照平衡条件，所有


Fpz

1 6
xyzf z
作用于微小四面体上
的外力在各坐标轴上
投影的代数和应分别 为零。
即在绕中心轴作等角速旋转的液体中有：只有r值相同的 那些点，即位于同心圆柱面上的各点 z p 才保持不变。
g
29
例1-1 有一圆柱形容器，内径为R，原
盛水深度为H，将容器以等角速度
绕中心轴oz旋转，试求运动稳定后容器 中心及边壁处的水深。
30
解 ： 在 容 器 边 壁 处 r ＝ R ， Zs=Zw ，
1－3 等压面
等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可
能是平面也可能是曲面）。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。 2．等压面与质量力正交。
15
1－3 等压面
等压面性质： dp ( U dx U dy U dz) dU
x
y
dz
1．在平衡液体中等压面即是等势面。
17
等压面性质2：等压面与质量力正交。
力 F 沿 ds 移动所做的功可写作矢量F与ds的数性积：
W F ds ( fxdx f ydy fzdz)dm W dUdm
因等压面上 dU=0 ，所以W=F*ds=0。也即质量力必 须与等压面正交。
注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必定 是水平面;
以 p' 表示绝对压强，p表示相对压强，pa 则表示当地
的大气压强。则有 p p' pa gh
32
地球表面大气所产生的压强为大气压强。海拔高 程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位 中，把98223.4 Pa称为一个标准大气压。
水利工程中，自由面上的气体压强等于当地大 气压强，故静止液体内任意点的相对压强为
fx 2x
fy 2y fz g
24
fx 2x
fy 2y fz g
dp ( fxdx fydy fzdz) (2xdx 2 ydy gdz) (1.20)
等压面上dp=0， 得： 2 xdx 2 ydy gdz 0
积分可得
由(1-24)式可求出容器边壁处与中心
处水深的差值为
zw z0

1 2R2
2g
(1.30)
由几何学可知，旋转抛物体的体积
为同底、等高的圆柱形体积的一半，
同时容器旋转后的水体体积应与静
止时的水体体积相等，故
R2
zw

1 2
R2
(zw

z0
)

R 2 H
1 2r2
2

g(zs

z0 )
(1.24)
于平衡状态下，作 用于液体上各种力 之间的关系式。 取平行六面体如图：
9
一、微分方程
1．表面力
X方向：静水压力各为 ( p p dx)dydz 及 ( p p dx)dydz 。
x 2
x 2
2．质量力
X方向： f xdxdydz 。
则X方向：(
p

p x
dx)dydz － 2
(2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。
18
1－4 重力作用下静水压强的基本公式
实际工程中， 作用于平衡液 体上的质量力 常常只有重力 ，即所谓静止 液体。
19
重力作用下 X＝0，Y＝0，Z＝－g ，代入平衡微分方
程式 dp ( fxdx f ydy fzdz) gdz
(
p

p x
dx )dydz 2
＋
f x dxdydz ＝0
以
dxdydz
除上式各项并化简后为：
p x

f x
10
同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到 欧拉平衡微分方程组：
p x

f x

p y

f y

p z

f z

欧拉平衡微分方程式
p ( pa gh) pa gh
33
三、真空及真空度
绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。 相对压强为负值时，则称该点存在真空。 真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。
pk pa p'
34
例1 在密闭的水容器中，有一
d=12cm的圆柱体，重G=520N，

z)
1 2
2r 2
27
p

p0

g ( z 0

z)

1 2
2r 2
将自由面方程
1 2r2
2

g(zs

z0 )
代入上式整理后变为：
p p0 g(zs z)
若令 h zs z ，为液体内部任意质点（x、y、z）在
自由液面下的淹没深度， 则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p p0 gh
形式。
将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数
2 p (f x ) (f y ) f x f y
yx y
x
y x
p x

f x

p y

f y

p z

f z

12
同理可得
f x y

f y
x

f y z
(1.24)
26
dp ( fxdx fydy fzdz) (2xdx 2 ydy gdz) (1.20)
积分（1.20），得
因为
p



1 2

2
r
2

gz

c1
代入自由面上边界条件得常数
C1 值 ： C1 p0 gz0
故
p

p0

g ( z 0
积分得
z p C (形式1)
g
而自由面上
z

z0 ,
p
g

p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 g ( z0 z)
p p0 gh (形式2)
式中 h z0 z：表示该点在自由面以下的淹没深度。
p0 ：自由面上的气体压强。 20
(a)
(b)
上式表明：相对平衡液体中任意点的静水压强仍然与
该点淹没深度成比例，等水深面仍是等压面。
28
注意：质量力只有重力作用的静止液体中对任意点有
z p Const
g
在有几种质量力同时作用的相对平衡液体中这种关系一
般不存在。由
p

(1
2
2r
2

gz)

C1
可得到
z p 2r 2 Const g 2g
该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某
一方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。
11
将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然
后相加得。
p x
dx
p y
dy

p x
dz

(
fxdx
f ydy
f z dz)

dp
上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
等压面
等高面
？
21
1－5 几种质量力同时作用下的液体平衡
如果液体相对于地球运 动，但相对于容器仍保 持静止的状态为相对平 衡。
以绕中心轴作等角速度
作的功：
dU

U x
dx
U y
dy
U z
dz

fxdx
f ydy
f z dz
上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡
故有
dp ( U dx U dy U dz) dU
x
y
dz
13
二、积分方程
对 dp dU 进行积分可得 p U C
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强 为 p0 、力势函数为U0，则
积分常数 C＝ p0 U 0
得 p p0 (U U 0 )
结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液 体内的一切点上；即当 p0 增大或减小时，液体内任意 点的压强也相应地增大或减小同样数值。
这就是物理学中著名的巴斯加原理。 14
zw

H

1 2
(zw

z0 )

H

1 2
2R2
2g
将左式代入 (1.30)，得
z0

H

1 2R2
2 31 2g
1－6 绝对压强与相对压强
一、 绝对压强
以绝对真空状态作为 零点计量的压强，称为 绝对压强。总是正的。
二、 相对压强
把当地' 大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。 可正可负。
粘性作用表现不出来(采用理想流体模型)