八年级(下）特殊平行四边形培优一.选择题(共13小题）1.(2014•达州)如图,在四边形ＡBCD中，∠A+∠D=α，∠ABＣ的平分线与∠BCＤ的平分线交于点P，则∠P=( ）Ａ.９0°﹣αﻩB.９0°+αﻩC．ﻩＤ．360°﹣α2．（２０12•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线,F是ＤＥ的中点，CＦ的延长线交ＡＢ于点G,则S△ＣEF:Ｓ△ＤGF等于（）Ａ．2：１B．3:1 C.４：1 D.５:1３.(20０５•湖州）如图,在等边△AＢC中，Ｍ、N分别是边AＢ，ＡC的中点,D为MN上任意一点,BD,CD的延长线分别交于AB，AC于点Ｅ,Ｆ.若=6,则△ABＣ的边长为( )Ａ.B．C．ﻩD．1４．（2002•无锡）已知:四边形ABＣＤ中，AB=２，CD＝3，M、N分别是AＤ,BC的中点,则线段ＭN的取值范围是（）A．1＜MN＜5ﻩB.１＜ＭN≤5 Ｃ.＜MＮ＜ D.<MＮ≤5．(2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形Ａ1B1Ｃ1Ｄ1、Ｄ１E1E2B2、A2Ｂ２C2D２、Ｄ2E3E4B 、A3Ｂ3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点Ｂ1在y轴上，点Ｃ1、E1、Ｅ2、Ｃ２、E３、３E4、Ｃ3…在x轴上,已知正方形A１Ｂ1Ｃ1D1的边长为1，∠B1C１O=6０°,Ｂ１C1∥B２Ｃ2∥B3Ｃ３…则正方形A2０15B２0１5C２0１5D201５的边长是(）Ａ.（）2014Ｂ．(）２０１5ﻩC.()2０１5 D.（）20146.（2013•渝中区校级模拟）如图,矩形AＢCD中,BC＝2AＢ,对角线相交于Ｏ,过C点作CE ⊥BD交BD于E点，Ｈ为BC中点,连接AH交ＢD于G点,交ＥＣ的延长线于F点，下列5个结论:①ＥH=AB；②∠ABＧ=∠ＨEC；③△ABG≌△HEC;④S△GAD=S四边形ＧＨCＥ;⑤C Ｆ＝BＤ.正确的有(）个.A．2ﻩＢ．3ﻩC．4ﻩＤ．57.（2012•重庆模拟)如图,正方形AＢCD中,点E是对角线BD上一点，点Ｆ是边BC上一点,点G是边CD上一点，BE=2ED,ＣF=2ＢF,连接AＥ并延长交CＤ于Ｇ,连接AF、ＥF、ＦG.给出下列五个结论：①ＤG＝GC;②∠ＦGＣ=∠AGF;③Ｓ△ABF＝S△ＦＣG;④ＡF＝EF；⑤∠AFB＝∠ＡEB.其中正确结论的个数是（)A．5个B.4个ﻩC．３个 D.2个8．(2０１２•鹿城区校级二模）如图,在正方形ABＣD中，四边形ＩJFH是正方形,面积为S ,四边形BEＦG是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（）１A．S１>Ｓ２ﻩB.S1=Ｓ2ﻩC．S1<S2ﻩD．2S1=3S２9.（2０11•承德县一模)如图,在矩形ABＣＤ中，ＡB＝3，AD=４,点Ｐ在AＢ上，ＰE⊥AC 于E，PＦ⊥BD于F,则PE+PF等于（）Ａ.ﻩB．ﻩC． D.10．(2011•瑞安市校级一模）如图，E,F分别是矩形ABＣD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCＨ的面积分别为15和2０，则图中阴影部分的面积为( ）A．1５ﻩＢ.20ﻩC.35ﻩD.40１1．(２01１春•内江期末)如图，点P是正方形AＢCD的对角线BD上一点，PＥ⊥BC于点E，PＦ⊥ＣD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AＰ＝EF;②ＡＰ⊥EＦ;③△AP Ｄ一定是等腰三角形;④∠PFE＝∠ＢAP;⑤PD=2ＥＣ．其中有正确结论的个数是（）Ａ.2个ﻩB.3个C.４个ﻩD．5个12．（２01０•盘锦）已知如图，矩形ＡBCD中AB＝4cm,BC＝3cｍ,点P是AB上除Ａ，B 外任一点,对角线AC，BD相交于点O，DP,CＰ分别交AＣ，BD于点E，F且△ＡDＥ和BCF 的面积之和４cｍ2，则四边形PEOF的面积为( ）A.1cm２B．１.5cｍ2Ｃ.2cm2ﻩＤ.2．5cｍ213．(1997•内江)如图，四边形AＢCD和MＮPQ都是边长为a的正方形,点Ａ是MNPＱ的中心(即两条对角线ＭＰ和ＮQ的交点)，点E是AB与ＭN的交点,点F是ＮＰ与AD的交点,则四边形AEＮF的面积是（)Ａ.ﻩＢ．ﻩC．ﻩD.二.填空题（共17小题)１４.（2015•广州）如图,四边形ABＣD中,∠A=９0°,AB＝３，AD＝3,点M,N分别为线段BC,AＢ上的动点（含端点,但点M不与点B重合)，点E，F分别为ＤＭ，ＭN的中点，则EF长度的最大值为．15．（２015•无锡）已知：如图，AＤ、BE分别是△ＡBC的中线和角平分线,AＤ⊥ＢＥ,AD=BE=6，则AC的长等于.16．(201４•安徽）如图，在▱AＢCD中，AD=2ＡB,F是AD的中点,作ＣE⊥AB,垂足E在线段ＡB上，连接EF、CＦ,则下列结论中一定成立的是 .（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DＣF=∠BＣＤ;②EＦ=CＦ；③S△BＥＣ=2S△ＣＥF；④∠DＦE=3∠AEＦ．17．（2０１3•乌鲁木齐）如图,△ABC中,AＤ是中线，ＡE是角平分线，CF⊥ＡＥ于F，AB=5，ＡＣ＝2，则ＤF的长为.18．(2013•南岗区校级一模)如图，AD、BＥ为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°,ＯＤ=,OE=,则ＡB= .１9．（20１2•枣庄）如图所示，DE为△ＡBC的中位线,点F在DE上,且∠ＡＦB=90°，若A Ｂ=5,BC=８，则EF的长为 .2０.（2０15•凉山州）菱形0ＢＣＤ在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2,0)，∠ＤOＢ＝60°，点Ｐ是对角线OＣ上一个动点,E（０，﹣1）,当ＥP+ＢP最短时，点Ｐ的坐标为 .21.(201５•天水)正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A２A3B3C3,按如图放置，其中点A1、Ａ２、A 在x轴的正半轴上,点B1、B2、Ｂ3在直线y=﹣ｘ+２上，则点Ａ３的坐标为. ３２2.(２0１５•潮南区一模）如图所示,如果以正方形AＢＣD的对角线AC为边作第二个正方形ACＥF，再以ＡE为边作第三个正方形ＡＥＧM，…已知正方形ABCＤ的面积Ｓ1=1,按上述方法所作的正方形的面积依次为Ｓ2，S３,…Sｎ（n为正整数),那么第8个正方形面积Ｓ8= ．23．（2０1４•南岗区二模)如图,正方形ABCD的对角线AC、BＤ相交于点Ｏ，∠CＡB的平分线交BＤ于点E,交BＣ于点F．若ＯＥ=１,则CF=．２4．(２01３•德州)如图，在正方形ABＣD中,边长为2的等边三角形ＡＥF的顶点E、F 分别在BC和CD上,下列结论:①CE=CF；②∠AＥB＝75°；③ＢE+DF=EF;④Ｓ正方形ABＣＤ=2+.其中正确的序号是（把你认为正确的都填上)．2５.(201３•广安区校级模拟）如图，在菱形ＡBCD中，∠A=6０°，E、Ｆ分别是AＢ,ＡD 的中点，DＥ、BF相交于点Ｇ,连接ＢＤ,CG．有下列结论,其中正确的有(填正确结论的序号）.①∠ＢＧD=12０°；②BG+DG=CG；③△ＢDＦ≌△CGB;④Ｓ△ABＤ=AＢ2．26.(2０１3•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、ＢＣ的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线ＡC和BＤ的距离之和是．27．（2013•锡山区校级三模)如图,矩形ABＣD中,点E，F，G,H分别在边AＢ,BC,CD,DA上，点Ｐ在矩形AＢＣD内.若AB=4ｃm,ＢＣ=6cm，AE＝CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEP Ｈ的面积为5cm2,则四边形ＰFCG的面积为ｃm2.２8．（２01３•成都模拟)将n个边长都为１cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A１、Ａ2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分)的面积的和为ｃm2．２9．（2０13•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中,正方形AＢCD顶点A的坐标为(0，２），B点在x轴上,对角线AC,BＤ交于点M,OM=，则点C的坐标为．参考答案与试题解析一．选择题(共13小题)1.（201４•达州)如图,在四边形AＢＣD中,∠Ａ+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BＣD的平分线交于点Ｐ，则∠Ｐ=（)A．90°﹣αﻩB.9０°+αﻩC.ﻩD.360°﹣α【解答】解:∵四边形ABCD中,∠ABC+∠BＣＤ=３6０°﹣（∠Ａ+∠D)=360°﹣α,∵PB和PC分别为∠ＡBC、∠BCD的平分线，∴∠PBＣ+∠PCB=(∠AＢＣ+∠BCD)＝（36０°﹣α）=１８０°﹣α，则∠P=１８0°﹣（∠PBＣ＋∠PCＢ)＝180°﹣（1８0°﹣α)=α.故选:C．2.(２012•河南模拟)如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AＢ于点G,则S△CEF：S△DGＦ等于（)A.2:1ﻩＢ．3：1ﻩＣ．4：1ﻩD．5：1【解答】解:如图,取CＧ的中点Ｈ，连接EH，∵Ｅ是AC的中点，∴EH是△AＣG的中位线，∴EH∥AD,∴∠GDＦ＝∠HＥF，∵F是ＤE的中点,∴DＦ=EF，在△ＤFG和△ＥFＨ中，，∴△ＤFG≌△EFH（ASＡ）,∴ＦG=FＨ，S△EFH=S△DGＦ，又∵FＣ=FH+HC＝FH+GH＝FH＋ＦG+FH＝３FH,∴S△ＥFC=3S△EＦH，∴S△ＥFC=3S△DGＦ，因此,Ｓ△CEF：S△DＧＦ=３：1.故选B.3.(20０5•湖州）如图,在等边△ABC中，Ｍ、Ｎ分别是边AB，AC的中点，D为ＭN上任意一点,BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若=6，则△ABＣ的边长为（）A．ﻩB．Ｃ．D．1【解答】解:过点A作直线PＱ∥ＢC,延长BD交PＱ于点P；延长CＤ,交ＰQ于点Q.∵ＰQ∥BＣ,∴△ＰQD∽△BＣD，∵点D在△AＢC的中位线上,∴△ＰＱD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD,∴PQ=ＢC,∵AE=AC﹣CE，ＡF=AB﹣BF,在△ＢCE与△ＰＡE中,∠PＡE=∠ACB,∠APE=∠ＣBE,∴△BCE∽△PAE,=…①同理：△ＣBF∽△QAF，＝…②①+②,得:+＝.∴+=3,又∵=６，AC＝AB，∴△AＢC的边长＝．故选C．4．（２0０2•无锡）已知：四边形ABＣＤ中，AB=2,CD=3，M、Ｎ分别是ＡD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1<ＭN<5ﻩB.１＜MＮ≤5ﻩC.＜MN<ﻩＤ．<MN≤【解答】解:连接BD，过M作MＧ∥AＢ,连接NG.∵Ｍ是边AD的中点，AB=２,MＧ∥AＢ,∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=ＡB=×２=1;∵N是BC的中点,ＢG＝ＧＤ,CＤ=3,∴ＮG是△BCD的中位线，NG=CＤ=×3=，在△MNG中,由三角形三边关系可知NＧ﹣ＭG<ＭN<ＭG+NG,即﹣１<MN＜+1，∴＜ＭN<，当MN=MG＋NG，即MN=时，四边形ＡBＣD是梯形，故线段MN长的取值范围是<MN≤.故选D.5.（２015•鄂州）在平面直角坐标系中,正方形A１B1C1D1、D1Ｅ1E２B2、Ａ２B2Ｃ２D2、D2Ｅ3E4Ｂ3、A3B3Ｃ3D3…按如图所示的方式放置,其中点B１在y轴上,点C１、E1、E2、C2、Ｅ3、E４、C3…在ｘ轴上,已知正方形A1Ｂ1Ｃ1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2０1５Ｂ2０15C２０15Ｄ2０１5的边长是（)Ａ.()201４ﻩB．（）20１5C．(）2015ﻩD．()20１4【解答】方法一：解:如图所示：∵正方形A1B1Ｃ1Ｄ1的边长为1,∠B1C1O=60°，Ｂ1C1∥B2Ｃ2∥Ｂ３C3…∴D1E1=Ｂ２Ｅ２,Ｄ2Ｅ3=B3Ｅ4,∠D1Ｃ１E1=∠C2Ｂ2Ｅ2=∠C3Ｂ3E4＝３０°,∴D1E１=C1D1ｓｉn３０°=，则Ｂ2C2＝（)１，同理可得：B３C３＝=（）2，故正方形AｎB nＣn D n的边长是：()n﹣1.则正方形A201５Ｂ201５C201５D2015的边长是:（)2０14．故选：Ｄ.方法二:∵正方形Ａ1B1C１D１的边长为1,∠B1Ｃ1O=６0°,∴D1E１=B2Ｅ2=，∵B1Ｃ1∥B２C2∥B３C３…∴∠E2Ｂ２Ｃ2=６0°,∴B２Ｃ2=,同理：B3C３=×=…∴a1＝１，ｑ=,∴正方形A2015B2015C2015D2０15的边长＝1×.６．(2０１３•渝中区校级模拟)如图,矩形AＢCD中,BC=2AB，对角线相交于O,过C点作CE⊥BＤ交BD于Ｅ点,H为ＢC中点,连接AＨ交ＢD于G点，交ＥC的延长线于Ｆ点,下列5个结论:①EH=AB;②∠ABG=∠ＨEC；③△ABＧ≌△ＨEC;④S△GＡD=S四边形ＧHCＥ;⑤ＣＦ=BD．正确的有（）个.Ａ．2 B．３C．４Ｄ．5【解答】解：①在△BCE中,∵CＥ⊥BD，H为ＢＣ中点,∴ＢC＝2EＨ,又ＢＣ=2AＢ，∴ＥＨ=AＢ，正确;②由①可知,ＢH=ＨE∴∠EBH=∠BEH，又∠ＡＢＧ+∠EBH＝∠BＥH+∠HEC=9０°,∴∠ＡBG=∠HＥC，正确；③由AB=ＢH,∠ABH＝9０°，得∠ＢAＧ＝45°,同理:∠DＨC＝4５°，∴∠EHＣ＞∠DHC＝45°,∴△ABG≌△HEC，错误;④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，∵ＡＤ∥BC,∴△ＡＤG∽△HGB，∴=2，即△ABG的面积等于△BGＨ的面积的２倍,根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，即Ｓ△GAD≠Ｓ四边形GHＣE，∴④错误⑤∠ＥCH=∠CHＦ+∠Ｆ=4５°＋∠F，又∠ECH=∠CＤＥ=∠BAO,∠ＢＡO＝∠BAＨ＋∠HAC，∴∠F=∠HAC，∴ＣF=BD,正确.正确的有三个.故选Ｂ.7.（20１２•重庆模拟）如图,正方形ABＣD中，点E是对角线ＢD上一点,点F是边BC上一点，点G是边CD上一点,ＢE=2ED，CF=2ＢF,连接AE并延长交ＣD于G,连接AＦ、EF、FＧ．给出下列五个结论:①DG=ＧC;②∠ＦGC=∠AGＦ；③S△ABF=S△ＦCG;④AF=EF;⑤∠AＦＢ=∠AＥB.其中正确结论的个数是（)Ａ.5个B．4个ﻩＣ．３个ﻩD．２个【解答】解:①∵BE=2DＥ∴=∴∵AB＝ＣD∴DＧ=CＤ∴DG＝CG故本选项正确②设BF＝1,则CF=２,AB=AD＝3，ＤG=CG=，过点Ｅ作AB的平行线,交AD于M,交ＢC于N,可得四边形ＭＮCD是矩形,△ＡME∽△AＤG，且相似比为,∵ＡD=3,∴AM=2，DM=１,NC＝1,则ＢN=BＣ﹣NC＝2，FN＝BN﹣BF＝1，∵MＤ∥BＮ，∴△MDE∽ＮBE,且相似比，∴ME=1，EN=２，在Rt△EFN中，EＦ==,在Ｒｔ△AME中，AＥ==，在Rt△ABF中，AＦ=，∴AＥ2+EＦ2=AF2，∴∠AEＦ=９０°,∵AＧ=＝∴EG=，∴taｎ∠AGF=＝2,又tan∠FGC=，∴∠FＧC≠∠ＡＧＦ，故本选项错误③∵×=∴S△AＢＦ＝ＳFCG故本选项正确④连接EC，过E点作EH⊥BＣ,垂足为H,由②可知AＦ=,∵BE=2ED，∴BH=２ＨC,ＥH=ＣＤ=2，又∵ＣＦ=2BF,∴H为ＦC的中点，FＨ=1,∴在Rｔ△HEF中:∵ＥＦ===AF=∴AF=EF故本选项正确．⑤过Ａ点作AO⊥BD,垂足为Ｏ，∵,∴Ｒt△ABＦ∽Ｒt△ＡOE，∴∠ＡFＢ=∠AＥB．故本选项正确．故选B．8．(2012•鹿城区校级二模）如图,在正方形ＡBCＤ中,四边形IＪＦH是正方形,面积为Ｓ1，四边形BEFG是矩形，面积为Ｓ2,下列说法正确的是（）A．S１＞S2ﻩB.Ｓ１=S2ﻩＣ.S1<S2Ｄ.2S1＝3S2【解答】解：∵AC是正方形AＢCＤ的对角线,∴∠BAC=∠DAC=∠AＣB=∠ACD＝45°，∵四边形IJFH是正方形，四边形BEFＧ是矩形,∴∠ＡJＩ=∠ＣFH＝AEＦ=∠CＧF=90°,∴△ＡIＪ、△AEF、△ＣＦＨ、△CFG都是等腰直角三角形，设JF=x，则S１=x2,根据等腰直角三角形的性质,EＦ=AF=×２x=x，ＦＧ=FC=x,所以Ｓ2＝ＥF•FG=ｘ•ｘ=x2，所以S1=S2.故选Ｂ.9.（２011•承德县一模）如图，在矩形AＢCD中，ＡＢ＝3,ＡD=4，点P在AB上，PE⊥A Ｃ于Ｅ,ＰF⊥BD于F,则ＰＥ+PF等于（)A．ﻩＢ．ﻩＣ.ﻩD．【解答】解:设AＰ=x,PB=3﹣x．∵∠ＥAP=∠EAP,∠AEP=∠ABC；∴△AＥP∽△AＢC,故=①;同理可得△ＢFP∽△DAB,故＝②．①+②得=,∴PE+PF=.故选B.10.（２０11•瑞安市校级一模)如图,E,Ｆ分别是矩形ABCD边AD、ＢC上的点，且△AＢG,△DＣＨ的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．１５B．2０Ｃ.３5 D.40【解答】解:连接EF,∵S△ABＦ=S△EBF∴S△EＦＧ=S△AＢG=15;同理:S△EＦH=S△DCH=2０∴S阴影＝S△EＦＧ＋S△DＣH=15+２0=35．故选C.１1.（2011春•内江期末)如图,点Ｐ是正方形ABＣD的对角线BD上一点,ＰE⊥ＢC于点E,PF ⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥ＥF;③△ＡPD一定是等腰三角形;④∠ＰFE＝∠ＢAP;⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（）A．２个ﻩB．3个ﻩC.4个 D.5个【解答】解：延长ＦP交AB于点N，延长AＰ交ＥＦ于点Ｍ．∵四边形ＡBCＤ是正方形.∴∠ABP=∠CBＤ又∵ＮP⊥AB，PE⊥BＣ，∴四边形BNPＥ是正方形，∠ＡNP=∠EPＦ，∴NP=ＥP，∴AN＝ＰF在△ANP与△FＰE中，∵，∴△ANP≌△ＦPE（ＳAS），∴AＰ=ＥF,∠PFE=∠BAP（故①④正确）;△ＡＰＮ与△FPM中，∠APN=∠FＰＭ，∠NAP=∠PFＭ∴∠PMF＝∠ANP=9０°∴AＰ⊥EF，（故②正确）；P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PＤ＝2EＣ不一定成立，(故③⑤错误); 故正确的是:①②④.故选：B．12.(20１0•盘锦）已知如图，矩形ABCD中AB=4ｃm,BC=3ｃm,点P是AB上除A，B外任一点,对角线AC,BD相交于点O,DP，CP分别交AC,BD于点E,F且△ADE和BCF的面积之和４ｃm2，则四边形PEOF的面积为( )A．1cm2ﻩB．1．５cm2C.2ｃm２ D．2.5cｍ2【解答】解:已知矩形ＡＢCD,∴△ＡPD的面积＋△BPC的面积=矩形AＢCＤ的面积﹣△ＣPD的面积＝４×3﹣×４×３=6(cm2),∴△ＡＥP的面积＋△BFＰ的面积=(△APD的面积+△BPＣ的面积)﹣△ADＥ和BCF的面积之和=６﹣4＝2(cｍ2），已知矩形AＢCD，∴△ＡOB的面积＝×4×(３×）=３（cｍ2)，∴四边形PEOＦ的面积=△ＡＯＢ的面积﹣（△ＡEP的面积+△BＦP的面积）=3﹣２=1（cm ２).故选Ａ.１３.(１9９7•内江)如图，四边形ABＣD和ＭNＰQ都是边长为ａ的正方形，点A是MNPQ 的中心(即两条对角线ＭP和NQ的交点)，点Ｅ是AB与MN的交点，点Ｆ是NP与AD的交点,则四边形AENF的面积是（)A.ﻩB．Ｃ.ﻩD．【解答】解:连接AＰ，AN,点A是正方形的对角线的交点，则AP＝ＡＮ，∠AＰF=∠ANＥ=4５°,∵∠ＰAF＋∠FAN=∠FＡN+∠NAＥ=90°，∴∠PAF=∠NAE,∴△ＰAＦ≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积,而△NＡP的面积是正方形的面积的,正方形的面积为ａ2,∴四边形AEＮＦ的面积为;故选A二.填空题(共17小题)14．（20１５•广州）如图,四边形ABCD中，∠A=90°,AＢ=3,AD=３,点Ｍ，N分别为线段ＢC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E,F分别为ＤＭ,MN的中点,则EF长度的最大值为3.【解答】解:∵ＥD＝EM，MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大，此时ＤＮ=DＢ=＝6，∴ＥF的最大值为3．故答案为3．１5.（2015•无锡)已知:如图,AD、ＢE分别是△AＢC的中线和角平分线,AD⊥BE，AD=ＢＥ＝6，则ＡC的长等于.【解答】解:过Ｄ点作DF∥BE，∵ＡD是△AＢC的中线，AD⊥ＢE,∴F为ＥC中点，AＤ⊥DF，∵AD=BE=6，则ＤF=3,AＦ=＝3，∵BE是△ＡBC的角平分线,AD⊥BE,∴△ABG≌△DＢＧ,∴Ｇ为AD中点,∴E为ＡF中点，∴AC=ＡF＝×3=．故答案为:．16．(２0１4•安徽）如图，在▱ABＣD中,AD=2AＢ，F是ＡＤ的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CＦ,则下列结论中一定成立的是①②④ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)①∠DCF＝∠BＣＤ;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF；④∠DＦE=3∠AEF．【解答】解：①∵F是ＡD的中点，∴AF=ＦD，∵在▱ＡＢCＤ中,AD=2ＡB，∴ＡF=FD=CD,∴∠ＤFC=∠ＤCＦ，∵AD∥BＣ，∴∠DＦC＝∠ＦCＢ,∴∠DCF=∠BＣF，∴∠DCF=∠BＣD，故此选项正确;延长EＦ，交CD延长线于M，∵四边形AＢＣＤ是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A＝∠ＭDＦ，∵Ｆ为ＡD中点,∴AF=FD,在△ＡＥF和△DＦM中,,∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=MＦ,∠AＥF＝∠M,∵ＣＥ⊥ＡB，∴∠ＡEＣ=9０°,∴∠AEC＝∠ＥＣＤ=90°，∵FM=EF，∴FC=ＦＭ，故②正确;③∵EＦ=FM，∴Ｓ△EＦC=S△CFＭ,∵MC>ＢE，∴S△BEC＜２S△EＦC故S△BＥC=2S△CEF错误；④设∠ＦEＣ＝x，则∠FCE＝ｘ,∴∠DCＦ=∠DFC＝９0°﹣x，∴∠EFC=1８0°﹣２x,∴∠EFD=9０°﹣x+１80°﹣2x＝270°﹣3x,∵∠ＡＥF=90°﹣x,∴∠DFＥ＝3∠ＡEＦ,故此选项正确．故答案为：①②④.1７.（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，ＡD是中线,AE是角平分线,CF⊥ＡE于F，AB=5,ＡC=2，则ＤF的长为．【解答】解：延长CＦ交AB于点G，∵AE平分∠BAC,∴∠ＧAF=∠CAF,∵ＡF垂直CG,∴∠AFG＝∠ＡＦC,在△AFG和△AFC中,∵，∴△AFＧ≌△AFＣ（ASA),∴ＡC＝AG,ＧF=CF，又∵点D是ＢC中点,∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BＧ=（ＡB﹣AG）=（AＢ﹣AＣ）=.故答案为:.18.（2０１3•南岗区校级一模）如图,ＡD、ＢE为△ABC的中线交于点Ｏ,∠ＡＯE=60°，O Ｄ=，OＥ＝，则AB= 7 .【解答】解:如图，过点E作EF⊥AD于Ｆ,连接DE,∵∠ＡOＥ＝６０°，∴∠OEＦ＝90°﹣60°＝3０°，∵ＯE=，∴OF＝OＥ=×=，在Rt△ＯEF中，ＥF＝＝=,∵OD=,∴DF＝ＯD+OF＝+=，在Rt△DEF中，ＤE=＝=,∵AD、BE为△AＢC的中线，∴ＤE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=２×=7.故答案为：7．1９．(2０1２•枣庄）如图所示,DＥ为△ABC的中位线,点F在ＤE上，且∠AFB=90°，若A Ｂ=5，BＣ＝８,则ＥＦ的长为．【解答】解:∵∠AFB＝90°,D为AB的中点,∴DF=AB=2．5，∵DE为△ＡBC的中位线，∴DE=BC=4,∴EＦ＝DE﹣ＤＦ=1.5,故答案为：１.5．20.（2015•凉山州)菱形０BＣD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(２,0),∠DOB=６０°,点P是对角线ＯC上一个动点，Ｅ（０,﹣１),当EP＋BP最短时，点Ｐ的坐标为（）．【解答】解:连接ED,如图,∵点B关于OC的对称点是点Ｄ,∴DＰ=ＢP,∴ED即为ＥP+BP最短,∵四边形ＯＢＣD是菱形,顶点B（2,0),∠DOB＝60°,∴点Ｄ的坐标为（１,),∴点C的坐标为（3,）,∴可得直线OC的解析式为：y=x,∵点E的坐标为(0，﹣1），∴可得直线ＥD的解析式为:y=（１＋）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为(），故答案为:().21.(20１5•天水）正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2Ａ3B3C3,按如图放置,其中点A1、A２、A在x轴的正半轴上，点B1、Ｂ2、B3在直线y＝﹣x+2上,则点A3的坐标为（，０）．３【解答】解：设正方形ＯA1B1C1的边长为t，则B１（t,t），所以t＝﹣t+2，解得t=1,得到B１（1,1);设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B２（１+a,ａ），a＝﹣（1+a)+2,解得a=，得到B2(，）;设正方形A2A３Ｂ3C3的边长为b，则B３（+b，b)，b=﹣(+ｂ)＋2，解得b=，得到B3(,),所以A3（,0）．故答案为(，0）.２２．（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AＣ为边作第二个正方形ACEＦ,再以ＡＥ为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ＡBCD的面积Ｓ1＝１，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…S n（n为正整数）,那么第8个正方形面积Ｓ8= 128 ．【解答】解:根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1)个的倍；故面积是第(n﹣1)个的2倍，已知第一个面积为１；则那么第8个正方形面积S8=27＝128．故答案为１28.2３.（2０14•南岗区二模）如图,正方形ABＣD的对角线AC、ＢD相交于点Ｏ,∠CAB的平分线交BD于点Ｅ，交BC于点Ｆ.若OE=1，则CF=2.【解答】解:作EG⊥AB于G，根据角平分线的性质可得,EG＝OＥ＝１，又BＤ平分∠AＢC，则∠AＢＥ=45°∴△EBＧ是等腰直角三角形,可得BE=，则ＯＢ=1+,可得BC=２+又∠AFB=9０°﹣∠ＦAB,∠FＥB=∠OEA=90°﹣∠ＦＡC,∴∠AFB＝∠ＦＥB∴ＢF＝BE=则CF=ＢC﹣BF=2+﹣=２．２4．(201３•德州)如图,在正方形ABCＤ中，边长为2的等边三角形AEＦ的顶点E、F分别在ＢC和CD上，下列结论：①CE=ＣＦ；②∠AEB=75°;③BE+DF＝ＥF；④Ｓ正方形ABCD=2+.其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上)．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝ＡF,在Rｔ△AＢE和Rt△ADＦ中, ，∴Rt△ABE≌Rt△ＡＤF（HL）,∴ＢＥ=DF，∵BC=DC,∴BＣ﹣BE=CD﹣DＦ,∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=ＣF，∴△EＣF是等腰直角三角形,∴∠CEF=45°，∵∠AEＦ＝６０°,∴∠ＡＥB=７５°，∴②说法正确;如图,连接AC，交EF于G点,∴AＣ⊥EF，且AＣ平分EＦ，∵∠CAF≠∠DAＦ,∴DF≠FG,∴BE+ＤＦ≠EF,∴③说法错误；∵EF＝2,∴CE=ＣF=，设正方形的边长为a，在Rt△AＤＦ中,ＡD２+ＤF２=AF2,即ａ2+（ａ﹣)2＝4，解得a=，则ａ2=2+,Ｓ正方形AＢCＤ＝２+,④说法正确，故答案为:①②④．25.(2０１３•广安区校级模拟）如图，在菱形ＡＢCD中，∠Ａ=60°,Ｅ、F分别是ＡB，ＡＤ的中点,DE、ＢF相交于点Ｇ,连接BD,CG.有下列结论，其中正确的有①②（填正确结论的序号).①∠BGD＝120°;②BG＋DG=CＧ;③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2.【解答】解:①由菱形的性质可得△ＡBD、BDC是等边三角形,∠DＧB=∠ＧＢE+∠GＥB=30°+90°=120°,故①正确；②∵∠DCG=∠ＢＣG=30°,DE⊥ＡB，∴可得ＤG＝ＣG(３０°角所对直角边等于斜边一半)、BG＝CＧ，故可得出ＢG+ＤG=CＧ,即②也正确;③首先可得对应边BG≠FD,因为BＧ=DG,DG＞ＦD，故可得△ＢDF不全等△CGＢ,即③错误；④S△ABD=AB•DE=ＡB•(ＢE)＝ＡB•AB=AB2，即④不正确.综上可得①②正确，共２个.故答案为①②.26.(2０1３•金城江区一模）如图，点P是矩形ABCD的边ＡＤ的一个动点,矩形的两条边A Ｂ、BＣ的长分别为3和4，那么点Ｐ到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．【解答】解:过Ｐ点作PE⊥AC,ＰF⊥BD,∵四边形ＡBCD是矩形,∴AD⊥CＤ,∴△ＰＥA∽△CDA,∴，∵AC=BＤ==5,∴…①,同理：△PFＤ∽△BAD,∴,∴…②,∴①＋②得：，∴PE+PＦ＝,即点Ｐ到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是:.故答案为：．2７．(2０13•锡山区校级三模)如图,矩形ABＣD中，点E，F，G，H分别在边AB,BC，ＣD，DA上,点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6ｃm,AE=CG=3ｃm，BF＝DＨ=4ｃm,四边形ＡEPH的面积为5cｍ2，则四边形PＦＣG的面积为8 ｃm2.【解答】解：连接ＡＰ,CP，设△AHP在AH边上的高为ｘ，△AEP在ＡＥ边上的高为y. 则△CFP在CF边上的高为４﹣ｘ,△CＧP在CG边上的高为6﹣y.∵AＨ=CＦ=2ｃm,AE＝CG＝3cｍ，∴Ｓ四边形AEPH=Ｓ△AHP＋S△AEＰ.＝AH×x×＋AE×y×＝2ｘ×+3y×=5ｃｍ22x+３y＝10S四边形PFCG=Ｓ△CＧＰ+Ｓ△ＣＦP=ＣF×（4﹣x)×+ＣG×（6﹣ｙ）×=２(4﹣x）×+3(6﹣y）×=（26﹣2x﹣３y)×＝（26﹣１0）×＝８ｃm2.故答案为8．28．（２０13•成都模拟)将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放,点Ａ1、A2…Ａn分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积的和为cｍ2．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是,５个这样的正方形重叠部分(阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm２.故答案为:．29.（201３•郑州模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCＤ顶点Ａ的坐标为(0，2)，B点在x轴上，对角线ＡＣ，BD交于点M，OＭ=,则点Ｃ的坐标为（6，4) .【解答】解：过点Ｃ作CE⊥x轴于点E,过点Ｍ作MF⊥x轴于点F，连结ＥM，∴∠ＭFO=∠CEＯ＝∠AOB=９0°，AＯ∥MF∥CE，∵四边形ABＣD是正方形,∴AB=BC，∠ABC=９0°,AM=CＭ,∴∠OＡＢ=∠EBC,OＦ=ＥF,∴MF是梯形ＡOEＣ的中位线,∴MF=（AO+EC)，∵ＭF⊥OE，∴ＭO=ＭE.∵在△AOＢ和△BEC中，，∴△ＡＯB≌△BEC(ＡAS），∴OB=CE,AO=BE.∴MF=(ＢE＋OＢ),又∵OＦ=FＥ，∴△MOE是直角三角形，∵ＭO=MＥ,∴△MOE是等腰直角三角形,∴OE==６,∴A（0,2），∴OＡ=2，∴ＢE＝2,∴ＯB＝CE=4.∴C（６，４）．故答案为：(6,4）.30.（２013•荣成市模拟）如图,在正方形ABCD中，AＢ=1,E、F分别是BＣ、ＣD边上点，若CE=CＢ，ＣF=CD，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：延长GE到M，使GＥ=EＭ，连接ＣＧ、CM、BM,过C作CN⊥DＥ于N,∵E为BC中点,∴BE=ＥC=,在△ＢEG和△CEM中∴△BEＧ≌△CEM(ＳAS)，∴S△BEＧ=S△CEＭ，∵Ｅ、F分别为ＢC、CD中点,∴DＧ：EＧ=２：1,∴GM=DG=2EG，∴S△MＧＣ=S△ＤGC，∴Ｓ△DMC=2S△DGC=2×S△DEC，∵S△DEC=×１×=，∴S△ＤMＣ=，∴阴影部分的面积Ｓ=S正方形ABＣD﹣S△ＤMC=１×1﹣=，故答案为：.。