第二章 单相不可压缩液体的稳定渗流【2-1】在圆形油藏中心有一口完善井，穿透四个K 、h 不同的小层（见表）。

各层的孔隙度0.2φ=，2000m e r =，10cm w r =，9MPa e p =，8MPa w p =，03mPa s μ=⋅， 求：(1) 油井总产量Q 。

(2) 平均地层渗透率p K 。

(3) 绘制地层压力分布曲线，求从供给边线到井距10m 处和1000m 处的压力损失。

(4) 求液体从供给边线处运动到井底所需的时间。

表2.1 不同厚度的渗透率厚度m 渗透率2m μ 1h3.0 1K 0.1 2h 6.0 2K 0.4 3h8.0 3K 0.6 4h10.04K1.0【解】(1) 记四个小层的产量分别为1Q ，2Q ，3Q ，4Q ，则总产量为4123412()lne w i i ewp p Q Q Q Q Q K h r r πμ-=+++=∑ 612332(98)10(30.160.480.610 1.0)10319.6m /d 2000310ln0.1π---⨯=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯⨯(2) 令 Q Q =虚拟实际 则有112233442()2()()ln lnp e w e w e ew wK h p p p p K h K h K h K h r r r r ππμμ--=+++∴ 112233441()p K K h K h K h K h h=+++ 230.160.480.610 1.00.6536810μ⨯+⨯+⨯+⨯==+++m(3) 由达西公式有()12w w r p r r p Q dr dp Kh r μπ⋅=⎰⎰图2.6 压力分布曲线 epln ()2w wQ rp r p Kh r μπ=- ()ln ln e w w e w wp p rp r p r r r -=+110(10)8ln 8.47MPa 20000.1ln 0.1p =+= 10(10)98.470.53MPa e p p p ∆=-=-=同理 1000(1000)98.930.07MPa e p p p ∆=-=-= 压力分布曲线如图2.6所示。

(4) t dr v dt=-2Q drrh dtπφ=- 02wer r Th rdr Qdt πφ-=⎰⎰∴ 22()e w r r h T Qπφ-=又因为 ew r r w r 可以忽略不计222000(36810)0.2581.4319.6365e r h T Qπφπ⨯⨯+++⨯===⨯年【2-2】一圆形油藏10km =e r ，10MPa e p =，21 1.5m K μ=，5m h =，0.1m w r =，9.6MPa w p =，06mPa s μ=⋅求：(1) 流量0Q 。

(2) 如果由于技术上的原因，使得井周围半径11m r =范围内的渗透率下降到220.3m K μ=，求井的产量1Q 和10/Q Q ，并画出压力分布曲线。

(3) 对该井进行酸化处理，使得半径250m r =内地层的渗透率提高到233m K μ=。

求此时井的产量2Q ，绘出压力分布曲线。

【解】(1) 由丘比（Dupuit ）公式知102()lne w ewK h p p Q r r πμ-=126332 1.5105(109.6)1023.6m /d 10000610ln0.1π--⨯⨯⨯⨯-⨯==⨯(2) 111122()11(ln ln )e w e wh p p Q r r K r K r πμ-=+633121225(109.6)1013.1m /d 11000011610(ln ln )1.51010.3100.1π---⨯⨯-⨯==⨯+⨯⨯1013.10.55523.6Q Q == (3) 221232()11(ln ln )e w e wh p p Q r r K r K r πμ-=+633121225(109.6)1032.28m /d 110000150610(ln ln )1.510503100.1π---⨯⨯-⨯==⨯+⨯⨯ 压力分布曲线如图2.7所示。

图2.7 油藏横向渗透率生变化的压力分布【2-3】如果距生产井1km 处有一停产井，井底压力18MPa w p =，生产井的24MPa w p =，井底半径10cm w r =，生产井位于圆形地层中心，地层的供给半径10Km e r =，已知整个地层内，达西定律都成立，求供给边线压力e p 。

【解】流经两口井的流量相等ep wp即12212()2()ln lnw w e w ew wKh p p Kh p p r r r r ππμμ--=解得 2121ln()44 1.259MPa ln ewe w w w wr r p p p p r r =+-=+⨯= 【2-4】圆形地层中心有一口生产井，液体渗流服从达西定律，10Km e r =，10cm w r =，求距井多远的点的压力恰好等于e p 和w p 得平均值：()/2e w p p p =+。

【解】由达西公式()12w w rp r r p Q dr dp Kh r μπ⋅=⎰⎰ 解得 ()ln ln e w w e w wp p rp r p r r r -=+当 ()()/2e w p p r p p ==+ln1000020.1ln0.1e w e w w p p p p rp +-=+ 解得 31.62m r =【2-5】若压力用MPa 表示，粘度以mPa s ⋅，厚度以m 为单位，渗透率以2m μ为单位，产量单位为3m /d ，并将自然对数化为常用对数，试改写丘比公式。

【解】丘比公式2()lne w ewKh p p Q r r πμ-=其中:Pa p ，:Pa s μ⋅，:m h ，2:m K ，3:m /s Q转换为使用单位 ':MPa p ，':mPa s μ⋅，':m h ，2':m K μ，3':m /d Q 则丘比公式转为12632'10'('')10'360024('10lg )/lg e w e wK h p p Q r e r πμ--⨯-⨯=⨯⨯ 整理有 ''('')'75'lg e w ewK h p p Q r r πμ-=⨯【2-6】若渗流服从二项式定理，试推导平面单向流和平面径向流的渗流规律，（产量，地层性质，流体性质与压力差的关系）。

【解】达西二项式公式2dp v b v dx Kμρ=-+ 平面单向流 2dp Q Q b dx K BH BH μρ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两边积分得 2we p Lp Q Q dp b dx K A A μρ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰2e w QLQ p p b L KBh Bh μρ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭平面径向流 222dp Q Q b dr Khr hr μρππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭两边积分得 22221124ee ww w ep r r p r r Q b Q dp dr dr Kh r hrμρππ=-⎰⎰⎰22211ln 24e e w w e w r Q b Q p p Kh r h r r μρππ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭【2-7】设地层是均质等厚各向同性的，液体作等温径向渗流，试推导柱坐标形式的连续性方程和基本微分方程式。

答案详见书后附录1【2-8】设有一夹角为θ的扇形油藏，在该油藏的顶点有一生产井（如图2.8），设地层、流体和生产数据都已知。

试推导：①油井产量公式；②压力分布公式。

【解】(1) K dpQ Av rh drθμ== 分离变量并积分Q Khdr dp r θμ= ee ww r p r p QKh dr dp r θμ=⎰⎰油井产量 ()ln e w ewKh p p Q rr θμ-=图2.8 角度为θ的扇形油藏ep wp θ(2)由 ()w wrp r r p QKh dr dr r θμ=⎰⎰ 积分得 ln(())w w r Kh Q p r p r θμ=- 带入Q 整理后得，压力分布公式为()ln ln e w w e w wp p r p r p r r r -=+【2-9】设有一岩心如图2.9所示，岩心、流体以及测压管的高差H ∆为已知，试从达西定律的微分形式出发证明流量公式为。

KA g HQ Lρμ∆=解：达西定律的微分形式为K dpv dxμ=-KA dpQ Av dxμ==-2211()0()Lp g Z h p g Z h KAQ dx dp ρρμ++++=-⎰⎰()()2211ρρ∆μμ=-+-+=--KAKAQL g Z h Z h g HKA g HQ Lρ∆μ=【2-10】均质不可压缩半球地层的中心钻了一口半径为w r 的半球形井，见图2.10，设地层渗透率为k ，液体粘度为μ，供给边线半径为e r ，供给压力为e p ，井底压力为w p ，求产量和压力差的关系。

【解】由达西公式可知Q Av =图2.9 一维稳定渗流装置其中22A r π=，K dp v drμ=⋅ 带入上式有 22K dp Q r drπμ=⋅⋅ 分离变量并积分212K dr dp r Q πμ= 212ee ww r p r p K dr dp r Q πμ=⎰⎰ 积分得112()πμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭w e e w Kp p r r Q 产量与压力关系2()11πμ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭w e e w K p p Q r r【2-11】某一油井以不完善井关井测得的平均地层压力为25.60MPa p =，已知供给半径250m e r =，井底半径0.1m w r =，流体粘度4mPa s μ=⋅，地层有效厚度8m h =。

现对该井进行稳定试井，实测产量和压力见表，试求地层的渗透率。

表2.2 产量与压力关系 产量3(m /d )Q流动压(MPa)w p35.58 24.4 62.26 23.5 94.88 22.4 127.4821.3【解】生产压差与油井产量的数据见表2.3，以p ∆为横坐标，Q 为纵坐标的直角坐标系中描点（i p ∆，i Q ）得到图2.11。

表2.3 压差与产量关系p ∆(MPa )Q 3(m /d)1.235.58 2.1 62.26 3.2 94.88 4.3127.88图2.10 半球形油藏3(m /d)Q得到直线斜率 103tan 3.4310(m /s Pa)J α-==⨯⋅2ln 0.5e w KhJ r S r πμ=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦假定 0S =解得 10322503.4310410ln 0.50.10.20m 28K μπ--⎛⎫⨯⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭==⨯⨯ 【2-12】若地层渗透率随地层压力的变化规律为0()0a p p K K e -=，流体粘度与压力的关系式为0()0b p p e μμ-=，供给半径为e r ，供给压力为e p ，井半径为w r ，井底压力为w p ，地层有效厚度为h ，求液体做平面径向稳定渗流的产量公式。