几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。
【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG ，DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF例 5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.【证明】：把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=.求证：BE CF =.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：图2①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).【解析】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ，∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM //GH 交BC 于M ， 过点B 作BN //EF 交CD 于N ,AM 与BN 交于点O /， 则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN ,GH=AM ，∵ ∠FOH ＝90°, AM //GH ，EF//BN , ∴ ∠NO /A =90°,故由(1)得, △ABM ≌△BCN ， ∴ AM =BN ， ∴ GH =EF =4．(3) ① 8．② 4n ．巩固训练【双基训练】1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的面积为________2cm ．(6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的图3 图4 图2O ′ NM 图1ABCDEF12G面积是________．4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
分别以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
求证：FN EC =。
5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 21=7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21=8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥,ABCD FOEG H 12A D E FC G B专题（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等； 内角：四个角都是90°；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
（3）主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
典例精讲例 1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=．求证：PBC ∆是正三角形．【证明】：如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形例 2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．【证明】：过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。
可得PQ=2EGFH。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ， 由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。
APCDB PCGFBQADE从而可得PQ=2AI BI=2AB， 从而得证。
例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．【证明】：顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。
推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF 。
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠． 求证：PA PF =．【证明】：作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan ∠BAP=tan ∠EPF=X Y =Z Y XZ，可得YZ=XY-X 2+XZ ，即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
AF D E C B D FEP C BA D例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．【证明】：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。
既得AF=213(1)42= 23=4232=2(31)2 = 2(31)2= 622。
例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a = 522a 。