从方程论到群论南京航空航天大学二О一三年四月十四日摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。

本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。

为群论理论普及服务。

整个故事从方程论开始。

从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。

方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。

从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。

就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。

这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。

1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。

这是方程论的一次巨大飞跃。

之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。

关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。

引言1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。

在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。

1伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。

伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。

伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。

现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。

1.一元一次、一元二次方程人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。

例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。

然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。

在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。

对以上简单问题，换另一角度。

假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。

X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是X+3=10这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。

这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。

对等式移项得X-7=0为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。

对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。

对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。

例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，那么是谁统计错了呢？还是全部都统计错了呢？.这次比赛共有多少个选手参加.这个时候，问题就不像上面的10-3=7那么容易了。

需要一番分析才能最终得出结果。

对最不想动脑的人，他可能会一个一个从1到10000000进行尝试（不可能）。

有了代数这种概念，这种武器，我们对问题的分析将会更加简化具体。

假设有X个人参加比赛，那么每个选手都要与X-1个选手比赛一局，总共进行X（X-1）局，但是两个选手对局从每个选手角度个统计了一次，因此实际比赛应为21 -XX）（局。

由于每局共计2分，所以全部选手总共为X(X-1)分。

因此X和X-1是相邻自然数，相邻自然数末尾乘积只能是0、2、6，因此总分是1917、1984、1985是不可能的。

因此只有1980分是正确的。

这时候有关系X（X-1）=1980化为统一形式为X2-X-1980=0从以上分析可以看出，如果仅仅将人的思维停留在10-3=7这个阶段，将导致无法分析更复杂的问题，社会发展的效率也将很低下。

有了代数的概念和方法，我们会发现分析的效率会大大提高，例如对以上问题的分析只需要求我们等价分析X-7=0 X2-X-1980=0这两个式子即可。

这是第一层抽象，这一层抽象引入了代数的概念，这是具有划时代意义的大事件，是人类思想解放的起步点。

既然是代数，那么我们将7、1980分别用p、q代替，就得到方程X-p=0 X2-X-q=0那么，如何对这些方程进行分析呢？对更一般的方程又如何分析呢？3①一元一次方程解的研究我们从小接触数是从自然数0、1、2、3、4···开始的，这群数是最自然不过的数，所以称为自然数，借用集合论的概念，全体自然数组成一个集合，叫自然数集，用N 表示。

我们知道，X-7=0在N 中是有解的，这个解是X=7.但是方程X+7=0呢？我们发现0、1、2、3、4、···这些数每个数加7都不等于0，即这个方程的解不在自然数集N 中。

这时怎么办呢？一个方法是引入新的数——负数，即把自然数集N 扩大到集合Z ，使Z 能包容方程X+7=0的解，这时我们将会发现，尽管X+7=0在N 中无解，但是却在Z 中有解，这个解是X=-7。

这时，一般的方程，X+a=0，（其中a 在N 中）将会在Z 中有解，稍微有数学知识的人都会懂得Z 就是整数集，Z={···-3，-2，-1,0,1,2,3···}。

上边的这个思想，即一个方程在一个数集中没有解，那么把这个数集进行扩展到更大的数集，使方程在更大的数集里有解的思想，及其重要，但是又因为过于简单明显而显得无用，长期被人忽视。

当对五次方程的一般解法的探索过去了300年均无成效后，人们才闪出这个思想的蛛丝马迹。

应用这个思想继续分析更一般的问题pX+q=0 （p ，q ∈Z ）这时解得X=-q p ，当p=2，q=-3时，X=32。

这时X=2/3也不在Z 中，这时需要把Z 进行扩大，添加进所有类似2/3这样的数，于是又得到一个更大的集合，这个集合称为有理数集，记为Q 。

用通俗的话讲，集合Q 包含了所有的分数。

于是一元一次方程pX+q=0 （p ，q ∈Q )在Q 中有解。

比较上边的这个方程跟其他更以上方程的区别，就会发现这个方程的系数在Q 中，但是它的解也在Q 中，即拿集合Q 中任意两个元素进行+、-、X 、 的结果扔在Q 中，这样的特殊集合称为域，Q 就是一个域，在方程论中很基本、很重要的一个域。

总结一下，对一次方程的解的研究我们取得丰硕的成果，用了一种思想，扩系数范围直至包含方程的解；引入一个概念，域。

一次方程的解到有理数域Q的时候实现了自我封闭，而数系，通过对解的研究一步步从自然数集N扩展到整数集Z，再从整数集Z扩展到有理数集Q。

尽管自然数、负数、分数、我们从小就接触知道意义并懂得使用，但是从自然数出发，通过扩张的方法一步步得到负数、分数，还是令人难以接受。

但是西方思想的核心就在于此，由最基本事实出发，运用一系列逻辑法则层层演绎，进而得出结果，令人无处可驳。

这也是西方的美，逻辑美、形式美，但是只有真正了解她的人，才能进入她的思想圈子，感受美的无限。

否则一切都是单调的枯草，令人不屑。

②一元二次方程的解的研究二次方程的一般形式是aX2+bX+c=0 （a≠0，a，b，c∈Q）用配方法解这个方程得X=a2ac 4-bb-2±，随便带入一个数，当b=0，a=1/2，c=-1时，得X=2。

2又是个什么东西呢？它在不在有理数集Q中呢？应用反证法我们可以证明，2不在有理数集Q中，即二次方程的解有些并不在系数域Q中，称这样的数为无理数。

应用上次分析一次方程时的系数扩张方法，将系数域Q进行扩展，将所有满足b2-4ac≥0的方程的解X扩充到系数域Q中，得到一个更大的数系，实数系R。

这时发现，对所有a、b、c∈R，且b2-4ac≥0的二次方程，其解也在R中，即实数系R中的任意两个元素进行+、-、X、÷的结果仍在实数系R 中，所以实数系R是一个域。

这个域包含了有理数域Q，记为Q⊂R。

但是实数域R是不是仅仅包含有有理数域Q呢？当然不是，例如a+b2，（a，b∈Q）也是一个域，它还有特别的记号，为Q（2）。

上边对实数域R进行分析时有个限制，即ω如果没有呢？例如a=1/2，b=0，c=1/2时，得X=1-，那么，1-是个什么东西呢？跟2之间有什么联系呢？我们知道，两个相同的数相乘不可能小于0，那么1-这个东西有没有实际意义呢？而且2=1.414···，那1-=？5我们姑且不管1-的实际意义，由之前的扩系数理论知道，若对系数之间的关系不加任何限制，那么解中不仅出现2这种数，而且还会出现1-这种数。

而且1-更加普遍。

我们将实数域R进一步扩展，使其包含1-这种数，而且用反证法可以证明，1-不在R中，因此扩展后的集合将比实数集R更大，记为C。

则二次方程在C中绝对有解，且R⊂C。

由前边分析可得C中的数可表为a+b1-，用i代替1-，即得a+ib，称这种数为复数。

而且当a，b，c∈C 时，二次方程的解也在C中，即取C中任意两个元素作+、-、X、÷的结果仍在C中，即C也是一个域，称为复数域。

对一次方程、二次方程的解进行分析后，我们得到三个重要的域，即有理数域Q、实数域R、复数域C，运用了一个重要的理论，系数扩展理论。

由最基本的自然数集开始，通过方程解的研究，运用系数扩展理论，我们依次得到整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C。

人们最早知道自然数，然后是有理数、负数、整数、无理数、实数，最后才是复数。

而且这些认识有的相隔几百年，有的甚至几千年才被人发现，最后有过了很多年才被人认可。

但是由以上分析、推论，这些数的得到是我们进行分析后想当然的结果。

为什么会有这种差别呢？留给看过这篇文章的人自己去分析品味吧。

数系由自然数开始，一步步扩充到复数，这时不禁疑问，在分析更高次的方程如三次、四次方程的解后，会不会产生新的数系呢？对此问题，高斯曾证明过，运用扩展系数方法不会产生比复数系更大的数系了，即，代数王国已经完成了它的扩张。