第四章 刚体的定轴转动4–1 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在4s 内被动轮的角速度达到π/s 8，则主动轮在这段时间内转过了 圈。

解：被动轮边缘上一点的线速度为πm/s 45.0π8222=⨯==r ωv在4s 内主动轮的角速度为πrad/s 202.0π412111====r r v v ω主动轮的角速度为2011πrad/s 540π2==∆-=tωωα在4s 内主动轮转过圈数为20π520ππ2(π212π212121=⨯==αωN （圈）4–2绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为0ω＝5rad/s ，t ＝20s 时角速度为08.0ωω=，则飞轮的角加速度α＝ ，t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角度θ＝ 。

解：由于飞轮作匀变速转动，故飞轮的角加速度为20s /rad 05.020558.0-=-⨯=-=tωωα t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角度为rad 250100)05.0(21100521220=⨯-⨯+⨯=+=t t αωθ4–3 转动惯量是物体 量度，决定刚体的转动惯量的因素有 。

解：转动惯性大小，刚体的形状、质量分布及转轴的位置。

4–4 如图4-1，在轻杆的b 处与3b 处各系质量为2m 和m 的质点，可绕O 轴转动，则质点系的转动惯量为 。

解：由分离质点的转动惯量的定义得221i i i r m J ∆=∑=22)3(2b m mb +=211mb =4–5 一飞轮以600r/min 的转速旋转，转动惯量为2.5kg·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________。

解：飞轮的角加速度为20s /rad 20160/π26000-=⨯-=-=tωωα制动力矩的大小为m N π50π)20(5.2⋅-=-⨯==αJ M负号表示力矩为阻力矩。

图4-1m2mb3b O4–6 半径为0.2m ，质量为1kg 的匀质圆盘，可绕过圆心且垂直于盘的轴转动。

现有一变力F =5t （SI ）沿切线方向作用在圆盘边缘上，如果圆盘最初处于静止状态，那么它在3秒末的角加速度为 ，角速度为 。

解：圆盘的转动惯量为222m kg 02.0)2.0(12121⋅=⨯⨯==mR J 。

3秒末的角加速度为s rad 303101002.052.0/t tJ M =⨯==⨯==α 由tt d d 10ωα== 即t t d 10d =ω对上式积分，并利用初始条件：0=t 时，00=ω，得⎰⎰=300d 10d t t ωωs /rad 45=ω4–7 角动量守恒定律成立的条件是 。

解：刚体（质点）不受外力矩的作用或所受的合外力矩为零。

4–8 以下运动形态不是平动的是[ ]。

A ．火车在平直的斜坡上运动B ．火车在拐弯时的运动C ．活塞在气缸内的运动D ．空中缆车的运动解：火车在拐弯时，车厢实际是平动和转动的合成，故不是平动，应选（B ）。

4–9 以下说法错误的是[ ]。

A ．角速度大的物体，受的合外力矩不一定大B ．有角加速度的物体，所受合外力矩不可能为零C ．有角加速度的物体，所受合外力一定不为零D ．作定轴（轴过质心）转动的物体，不论角加速度多大，所受合外力一定为零 解：角速度大的物体，角加速度不一定大，由于αJ M =，所以它所受的合力矩不一定大；如果一个物体有角加速度，则它一定受到了合外力矩的作用；合外力矩不等于零，不等于所受的合力一定不为零，如物体受到了一个大小相等，方向相反而不在一条直线上的力的作用；当物体作定轴（轴过质心）转动时，质心此时的加速度为零，根据质心运动定律，它所受的合外力一定零。

综上，只有（C ）是错误的，故应选（C ）。

4–10 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：[ ] （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。

在上述说法中A ．只有（1）是正确的B ．（1）、（2）正确，（3）、（4）错误C ．（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误D ．（1）、（2）、（3）、（4）都正确解：这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的矩都为零，自然合力矩为零，故（1）正确；当两个力都垂直于轴作用时，如果两个力大小相等、方向相反，作用在物体的同一点，则它们的合力矩为零，或两个力都通过转轴，两力的力矩都等于零，合力矩也等于零，但如两力大小不等，方向相反，也可通过改变力臂，使两力的合力矩为零，如此时力臂相同，则合力矩不等于零，因此（2）也时正确的；当这两个力的合力为零时，还要考虑力臂的大小，所以合力矩不一定为零，故（3）是错误的；两个力对轴的合力矩为零时，因F r M ⨯=，所以它们的合力不一定为零，故（4）也是错误的。

故答案应选（B ）。

4–11 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动。

如图4-2所示，射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一条直线上的子弹。

子弹射入并且停留在圆盘内，则子弹射入的瞬间，圆盘的角速度ω与射入前角速度0ω相比[ ]。

A ．增大B ．不变C ．减小D ．不能确定 解：设射来的两子弹的速度为v ，对于圆盘和子弹组成的系统来说，无外力矩作用，故系统对轴O 的角动量守恒，即ωωJ J d m d m =+-00v v式中d m v 这子弹对点O 的角动量，0J 为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量，J 为子弹射入后系统对轴O 的转动惯量。

由于J J <0，则0ωω<。

故选（C ）。

4–12 如图4-3所示，有一个小块物体，置于一个光滑水平桌面上。

有一绳其一端连接此物体，另一端穿过中心的小孔。

该物体原以角速度ω在距孔为r 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体[ ]。

A ．角速度减小，角动量增大，动量改变B ．角速度不变，动能不变，动量不变C ．角速度增大，角动量增大，动量不变D ．角速度增大，动能增加，角动量不变解：在拉力绳子的过程中，力对小球的力矩为零，故小球的角动量在转动过程中不变，有2211ωωJ J =。

当小球的半径减小时，小球对O 点的转动惯量减小，即21J J >，故22ωω>，角速度增大，小球转得更快。

又由2211ωωJ J =可得2211r m r m v v =，因21r r >，所以12v v >，故小球的动能增加，小球的动量也要发生变化。

故选（D ）4–13 有一半径为R 的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J 。

开始时，转台以角速度0ω转动，此时有一质量为M 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。

当人到达转台边缘时，转台的角速度为[ ]。

A ．20MRJ J +ω B ．20)(RM J J +ω C ．20MRJ ω D ．0ω解：人站在转台中心时，他相对于转台中心的角动量为零。

当人沿半径向外跑去，到达O图4-2图4-3FrO转台边缘的过程中，不受外力矩作用，人和转台组成的系统角动量守恒，由于人是沿半径方向走，故人和转台的角速度相同，相对于转台中心有角动量2R M R M ω=v 。

根据角动量守恒，可列方程得20R M J J ωωω+=故20MRJ J +=ωω所以应选（A ）。

4–14 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用，若两质点所受外力矢量和为零，则此系统[ ]。

A ．动量、机械能、角动量均守恒B ．动量、机械能守恒，角动量不守恒C ．动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能断定D ．动量、角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定解：由于两质点系所受的合外力为零，故系统的动量守恒。

当质点所受的合外力不是共点力时，尽管两质点所受的合外力矢量和为零，但力矩不为零，则物体将转动，从而改变系统的机械能和角动量，而当质点所受的合外力为共点力，且外力矢量和为零时，质点所受的力矩将为零。

则系统的机械能和角动量将守恒，所以，应选（C ）。

4–15 一个哑铃由两个质量为m ，半径为R 的铁球和中间一根长为l 连杆组成，如图4-4所示。

和铁球的质量相比，连杆的质量可以忽略不计。

求此哑铃对于通过连杆中心并和它垂直的轴AA ′的转动惯量？解：球绕通过球心的轴转动的转动惯量为252mR ，根据平行轴定理，现在一个球绕离球心2/l R +转动的转动惯量为22)2/(52l R m mR ++，则哑铃绕通过连杆中心并和它垂直的轴AA ′的转动惯量为2222212514])2/(52[2ml mRl mR l R m mR J ++=++=4–16 一质量m =6.0kg 、长l =1.0m 的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量J =ml 2/12。

t =0时棒的角速度ω0=10.0rad/s 。

由于受到恒定的阻力矩的作用，t =20s 时，棒停止运动。

求：（1）棒的角加速度的大小；（2）棒所受阻力矩的大小；（3）从t =0到t =10s 时间内棒转过的角度。

解：（1）棒的角加速度的大小为20s /rad 5.020100-=-=-=tωωα （2）棒所受阻力矩的大小为m N 25.0)5.0(10.612112122⋅-=-⨯⨯⨯===ααml J M （3）从t =0到t =10s 时间内棒转过的角度为l RR mmAA ′ 图4-4rad 75)0.10(5.021100.10212200=⨯⨯-⨯=+=-=∆t t αωθθθ4–17 一球体绕通过球心的竖直轴旋转，转动惯量22m kg 105⋅⨯=-J 。

从某一时刻开始，有一个力作用在球体上，使球按规律222t t -+=θ旋转，则从力开始作用到球体停止转动的时间为多少？在这段时间内作用在球上的外力矩的大小为多少？解：由计算角速度的公式得球任意时刻转动的角速度为t t22d d -==θω （1） 令022=-=t ω，得球体停止转动的时间为1=t s对（1）式再求一次导数得球转动的角加速度为222s /rad 2d d -==t θα所以作用在球上的外力矩的大小为m N 1.0)2(1052⋅-=-⨯⨯==-αJ M式中负号表示球受到的力矩为阻力矩。

4–18 设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。

（1）原来静止的电扇通电后t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）由题意知空气阻力矩为ωk M f -=，而动力矩ωPM =，根据转动定律，通电时有tJM M f d d ω=+ 将f M 、M 的表达式代入上式，整理可得ωωωd d 2k P J t -=两边积分有ωωωωd d 02⎰⎰-=k P J t t积分得)e 1(2t J kkP--=ω （1） （2）由（1）式，当∞→t 时，得电扇稳定转动时的转速为k P s /=ω（3）断开电源时，电扇的转速为k P s /0==ωω，只有f M 作用，那么tJk d d ωω=-考虑到θωωωd d d d =t ，有 ⎰⎰=-000d d ωθωt Jk得断开电源后风扇叶继续转动的角度为kPk J k J ==0ωθ 4–19 物体A 和B 叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图4-5所示。