专题：运用向量法证明立体几何问题
一、知识点：
1、若向量m
与直线l 平行，则向量叫做直线l 的方向向量。
2、若⊥α，则叫做平面α的法向量。
（1）要证m 为平面α的法向量，只须让m 与平面α内的两条相交直线垂直。
（2）若χ轴与平面的法向量，可设为=（1，0，0）
（3）若
y 轴为平面的法向量，可设为=（0，1，0）
（4）若Z 轴为平面的法向量，可设为m =（0，0，1） 3、证明线面平行与线面垂直
若为平面α的法向量，n 为直线l 的方向向量，则
（1）l ⊥α⇔m ∥n ⇔m =λn
（2）l ∥α
⇔m ⊥n ⇔m ·n
=0
4、运用向量求角
（1）若两条异面直线l 1，l 2所成的角为
θ，为l
1
的方向向量，
n
为l 2
的方向向量，则
cos (090)m n m n
θθ=<≤
， （2）若两个平面12αα，所成的二面角的平面角为
θ，为1α的法向
量，为2α的法向量，则
cos (090)m n m n
θθ=<≤
， 当二面角为锐时为θ；当二面角为钝角时为
π-θ。
（3）直线l 与平面α所成的角为θ，n 为直线l 的方向向量，m 为平面α
的法向量，则
sin (090)m n m n
θθ=<≤
， 5、点P 到平面α的距离为d,若为平面α的法向量，A 为平面α内任
一点，则PA m d m
= 例1．如图在四棱锥P-ABCD 中，底面AB 、CD 是正方形且边长为1，侧棱PD
⊥底面ABCD ，PD=DC ，点E 是PC 的中点，且F 的坐标是（31，31，3
2
）。
（1）求证：PA ∥平面EDB （２）求证：PB ⊥平面EFD
解：如图建立空间直角坐标系D xyz -。
设底面正方形的边长为１,则PD=1 D （0，0，0），P （0，0，1），A （1，0，0），
B （1，1，0）,
C （0，1，0），E （0，21，2
1
）
（1）设(x,y,z)m =
为平面EDB 的法向量
则00m DB m DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， 而(1,1,0)11(0,,)22
DB DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴011022
x y y z +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ ， 即 x y z y =-⎧⎨=-⎩
故m =（1，-1，1）（取Y=-1）
又∵PA =（1,0，-1）
∴1010PA m =+-=
故PA ⊥m ，即PA ∥平面EDB
（2）设(x,y,z)n =
为平面EFD 的法向量
则00
n DF n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 而112
(,,)33311(0,,)22
DF DE ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故1
12033311022
x y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即x z y z =-⎧⎨=-⎩
故n
=（1，1，-1）
而PB
=（1，1，-1） ∴PB ∥n
即PB ⊥平面EFD
例2，在直三棱柱中，AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点， （1）求证： B 1C ∥ 平面A 1BD （2）求点B 1到平面A 1BD 的距离 （3）求二面角11A DB B --的余弦值 解：如图建立空间直角系D xyz -，
由AA 1=AB=BC=3,AC=2知
D （0，0，0），B （0，
0），C （1，0，0） A 1（-1，0，3），B 1（0，
3）
（1）设(x,y,z)m =
为面A 1
BD 的法向量
则100m DB m DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩
而1(1,0,3)
DB DA ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
故0
30y x z =⎧⎨-+=⎩
即03y x z =⎧⎨=⎩
故m =（3，0，1）
又∵1C B
=（1，
-3） ∴13030B C m =+-=
故⊥1C B
∴1C B
∥平面A 1
BD
（2）由（1）知面A 1BD 的法向量=（3，0，1）
又∵1B B
=（0，0，-3）
∴1B 到面A 1BD 的距离为 1m B B d m
=
=3
10= （3）由图可知χ轴为面B 1
BD 的法向量，可设为n
=（1，0，0）
由（1）知面A 1
BD 的法向量m
=（3，0，1）
设锐二面角A 1-DB-B 1的平面角为θ
则m n Cos m n
θ
=
例3：如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4，E 为BC 的中点，F
为CC 1的中点。
（1）求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值 （2）求二面角F-DE-C 的余弦值
解：如图示建立空间直角坐标系D xyz -。
∵AB=2，AA 1=4
∴D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0）， C （0，2，0），E （1，2，0），F （0，2，2）
（1）Z 轴为面ABCD 的法向量，可设为m
=（0，0，1）
又∵EF
=（-1，0，2）
设EF 与面ABCD 所成的角为θ
则m EF Sin m EF
θ==
故Cos θ== （2）Z 轴为面CDE 的法向量，设为n =（0，0，1）
设(x,y,z)m =
为面DEF 的法向量
则则00m DE m DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 而(1,2,0)(0,2,2)
DE DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故20
0x y y z +=⎧⎨+=⎩
即2x y y z =-⎧⎨=-⎩
故m
=（2，-1，1）
设锐二面角F-DE-C 的平面角为θ
则
cos 6m n m n
==。