此文档下载后即可编辑一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的 n 次方等于 a （n1,且 nx na ，则x 称a 的n 次方根 n 1且n N ），1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 na ；2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 na （a 0）（2）．幂的有关概念①规定： 1） a n a a a （n N *；2） a 01（a 0）；na m(a 0,m 、n N *且 n 1)0,r 、 s Q)；2)(a r)sa r s(a 0,r 、s Q)； 3) (a b)ra rb r(a 0,b 0,r Q)。

（注）上述性质对 r 、 s R 均适用。

（3）．对数的概念①定义：如果 a （a 0,且a 1） 的 b 次幂等于 N ，就是 a bN ，那么数 b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 log a N b,其中a 称对数的底， N 称真数1）以 10为底的对数称常用对数， log 10 N 记作lg N ；基本初等函数n个m3) a p1 1(p Q ，4）a na p②性质：1) a r a sa rs(aN ） ，则这个数称 a 的 n 次方根。

即若3）当 n 为偶数时， na |a|a(a 0) 。

a(a 0)2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ；②基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） log a 1 0 ； 3） log a a 1 ；4）对数恒等式： alogaNN 。

③运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1) log a (MN ) log a M log a N ； 2) log a Mlog a M log a N ； aN a a3) log a M nn log a M (n R) ④换底公式： log a Nlog m N(a 0,a 0,m 0, m 1, N 0), log m a1) log a b log b a 1；2)log a m b n nlog a b 。

m2．指数函数与对数函数 (1) 指数函数：①定义：函数 y a x（a 0,且a 1） 称指数函数， 1）函数的定义域为 R ；2）函数的值域为 （0, ） ； 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。

1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴）；3）对于相同的 a （a 0,且a 1），函数 y a x与y a x的图象关于 y 轴对称③函数值的变化特征：（2）对数函数：3）当 0 a ②函数图3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1 时函数为增函数；4）对数函数y log a x与指数函数y a x（a 0,且a 1）互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近y 轴；当a 1时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的a（a 0,且a 1），函数y log a x与y log 1x的图象关于x轴对称。

a③函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点2）a>0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（ 1，1）当幂函数为偶函数过（ -1,1 ）, 当幂函数为奇函数时过（ -1，-1 ）当 a>0 时过（ 0， 0）4）幂函数一定不经过第四象限四．【典例解析】 题型 1：指数运算点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运 算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

x 211解：∵ x 2 x 23 ，11∴ (x 2 x 2)29 ， ∴x 2 x 19， ∴x x 17，12∴ (x x 1) 249，22∴x x 47 ，例 1．（ 1）计算： 3 [(33823(594)0.5 2 (0.008)3 11(0.02) 2 (0.32) 2]0.06250.25 ；4a 3 2)化简：2a4b 3 23ab18a 3b2 a 32(a323 b ) a82解：(1)原式 =[( 8 ) 31(499)1210002)3504 2] 10 ]1(10602050)14[94 73 251 524 2] 10 ]1792) 2；；92 )原式 = (a 3) 1a 3[(a 3)3(2b )] 1a 3 12b 31 a 3112(2b 3 )21a 3)2 1 1 1(a 2a 3)5(a1 1 1a 3 (a 3 2b 3 )a 11a 3 2b 35 a6 1 a 61a 32a 31例 2．（1）已知x 2x 23 ，求 3x 22的值3311又∵ x 2x 2(x 2x 2) (x 1 x 1) 3 (7 1)18 ，22 x x 2472 3。

3 ∴3 3x 2x 2 318点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型 2：对数运算(2).( 江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试 )幂函数 y f(x) 的图象经过点 ( 2, 1) ，则满足 f(x)＝27的 x 的值是 .8 答案 13例 3．计算2(1) (lg 2)2lg2 lg50 lg 25 ；(2) (log 3 2 log 92) (log 4 3 log 83)；(3)lg5 lg 8000 (lg2 3)2(3)1 1lg 600 lg 0.036 lg0.12222解：(1)原式 (lg 2)2 (1 lg5)lg 2 lg52(lg2 lg5 1)lg 2 2lg536 1 6分母=(lg 6 2) lg lg6 2 lg 4；1000 10 100原式 =3。

4 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数 式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变 换的各种技巧例 4．设 a 、 b 、 c 为正数，且满足 a 2b 2c 2(1 1)lg 2 2lg52(lg 2 lg5) 2 ； 2)原式(lg2 lg2) (lg3 lg3) (lg2 lg2 ) ( lg3 lg3 )(lg3 lg9) (lg4 lg8) (lg3 2lg3 ) (2lg 2 3lg2)3lg 2 5lg 3 52lg 3 6lg 23)分子 =lg5(3 3lg2) 3(lg 2)23lg5 3lg 2(lg5 lg2) 3；(1)求证：log 2 (1 b c) log 2 (1 a c) 1 ；b1(2)若 log 4 (1 b c) 1， log 8(a b c) a 证明：(1)左边 log 2 a b c 2aa log 22，求 a 、 b 、 c 的值。

3 bc log 2( b a b c a b c a b cab bc ) log 2 ab log 2ablog 2ab 解：(2) 由 lo g 4(1 bc )bc1得14，a a∴ 3a b c 0⋯①2c22ab c 2 a 22ab b 2 c 22c log 2 21； 由log 8 (ac) 23得 a b283 4由① ②得 b a2由①得 c 3a b ，代入 a 2 b 2 c 2得2a(4a 3b) 0， ∵ a 0， 由③、④解得 a 6， b 8，从而 c 10。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最 见形式再来处理即可。

题型 3：指数、对数方程 例 5． (江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中 ) x 2x bx12 x 1a 4a 3b 0已知定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数 .1) 2) 求 a,b 的值； 若对任意的 t R ，不等式 f (t 22t) f (2t 2 1) 因为 f(x) 是 R 上的奇函数，所以 f (0)从而有 f (x) 11. 又由 f (1) f ( a k) 0 恒成立，求 k 的取值范围 .0,即 1 b2a1 2 1a 0,解得 b 1 2 x 1 x1(2)解法一：由( 1)知 f (x) x 12x 12 由上式易知 f (x)在R 上为减函数，又因 f (x) f(t 2 因 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t 22 2t) f (2t 2 k) 0等价于 f(t 2 2 2 1)知 2 4a 11 x2 2 x1 是奇函数，从而不等式 f (2t2 2t 2 1 ，解得 a 2 即对一切 t R 有 3t 22t k 0, 从而 解法二：由( 1)知f(x)2 x 12x 12t 22t 又由题设条件得 22t2 2t 12t 2t 1 2 即 (22t 2 k 12)( 2t2 2t 1)2t) 2t12k 2 22t k1 22t2k 1 2 (2t2 2t 12)( 22t2 kk) k. 0,解得k 1) 0f ( 2t 2 k).整理得 23t2 2t k1，因底数 2>1，故 3t 2 2t k 01上式对一切 t R 均成立，从而判别式 4 12k 0,解得 k.3例 6．( 2008 广东 理 7)设 a R ，若函数 yax e 3x ， x R 有大于零的极值点，则( B )A ． a 3B ． a 3 1 Ca D ． a13 3【解析】 f '(x) 3 ax ae ， 若函数在 x R 上有大于零的极值点，即 f '(x) 3 ae ax 0 有正根。

当有 f '(x) 3 ax ae 0 成立时 1 , 显然有 a 0, 此时 x 3 ln( ) ，由 x 0 我们a a上就能得到参数 a 的范围为 a 3点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数 因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型 4：指数函数的概念与性质(2)当0<a <1时，由0 x 1 x 2，有0 a x1 a x2 ，a x1 x21，所以 f(x 2) f(x 1) 0， 即 f (x )在［0 ，+∞］上单调递增。