高考数学平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB=( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b ( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】4．(2017北京)设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】5．(2016年山东)已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．–4 C ．94 D ．–94【答案】6．(2016年天津)已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为( ) A ．58-B ．18C ．14D ．118【答案】7．(2016年全国II )已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m =( )A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】8．(2016年全国III )已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=( )A ．30B ．45C ．60D ．120【答案】9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．4πB ．2π C ．34πD ．π 【答案】10．(2015陕西)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．||||||⋅a b a b ≤ B ．||||||||--a b a b ≤ C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 【答案】11．(2015安徽)ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是( ) A ．1=b B ．⊥a b C ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥a b【答案】12．(2014新课标1)设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( )A ．ADB ．12AD C ．12BC D ． BC【答案】13．(2014新课标2)设向量a ,b满足|+a b|-a b ⋅=a b ( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】14．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b ．若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =( )A． BC ．0 D．【答案】15．(2014安徽)设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为( )A ．23π B ．3π C ．6π D ．0【答案】16．(2014福建)在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是( )A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】17．(2014浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1( ) A ．若θ确定，则||a 唯一确定 B ．若θ确定，则||b 唯一确定 C ．若||a 确定，则θ唯一确定 D ．若||b 确定，则θ唯一确定 【答案】18．(2014重庆)已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =( )A ．92-B ．0C ．3D ．152【答案】19．(2013福建)在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为( )A ．5 B ．52C ．5D ．10【答案】20．(2013浙江)设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则( )A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =【答案】21．(2013辽宁)已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】 22．(2013湖北)已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )ABC． D． 【答案】23．(2013湖南)已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为( )A1 BC1D．2【答案】24．(2013重庆)在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12APAB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．⎝ 【答案】25．(2013广东)设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ； ②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+ab c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D．4【答案】26．(2012陕西)设向量a =(1,cos θ)与b =(-1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A ．2B ．12C ．0D ．－1 【答案】27．(2012浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b【答案】28．(2011广东)已知向量a =(1,2)，b =(1,0)，c =(3,4)．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】29．(2011辽宁)已知向量(2,1)=a，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则k =( )A ．12-B ．6-C ．6 D．12【答案】30．(2010辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于( )AB．222|||()|+⋅a b a bC ．2221|||()2|-⋅a b a b D ．2221|||()2|+⋅a b a b【答案】31．(2010山东)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-a b ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则0=a bB ．=ab b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b abD ．2222()()||||+•=ab a b a b【答案】 二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ=____． 【答案】33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =____．【答案】34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是____，最大值是____． 【答案】35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是____． 【答案】36．(2017江苏)如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB (m ，n ∈R )，则m n +=____．【答案】37．(2016全国I )设向量(,1)m =a，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m =____．【答案】38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b (,m n ∈R )，则m n - 的值为____． 【答案】39．(2015湖北)已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=____．【答案】40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=____． 【答案】41．(2015浙江)已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，120102()()x y x y -+-+≥b e e b e e 001(,)x y R =∈，则0x =____，0y =____，=b ____．【答案】42．(2014新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为____． 【答案】 43．(2014山东)在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC 的面积为____．【答案】44．(2014安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233Sx y x y x y =⋅+⋅+⋅4455x y x y +⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若a b ∥则min S 与||b 无关．④若||4||>b a ，则0min>S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 【答案】45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=____．【答案】46．(2014陕西)设02πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若a b ∥，则 tan θ=____．【答案】47．(2014四川)平面向量(1,2)=a，(4,2)=b ，m =+c a b (m R ∈)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____． 【答案】48．(2013新课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t=____．【答案】49．(2013新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=____．【答案】50．(2013山东)已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为____． 【答案】51．(2013浙江)设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于____． 【答案】52．(2013天津)在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =， 则AB 的长为____． 【答案】53．(2013北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ=____．【答案】54．(2013北京)已知向量a ，b 夹角为45o，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b ____．【答案】55．(2012湖北)已知向量a =(1，0)，b =(1，1)，则 (Ⅰ)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____； (Ⅱ)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____． 【答案】56．(2012安徽)若平面向量a ，b 满足：23-a b ≤；则⋅a b 的最小值是____． 【答案】57．(2011浙江)若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的 平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是____． 【答案】58．(2011江苏)已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ， 若0⋅=a b ，则k 的值为____． 【答案】59．(2011新课标)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k =____．【答案】60．(2011安徽)已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为____．【答案】61．(2010陕西)已知向量a =(2，-1)，b =(-1，m )，c =(-1,2)，若(a +b )∥c ，则m =____． 【答案】 三、解答题62．(2017江苏)已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,3)=b ，[0,]x π∈．(1)若a b ∥，求x 的值； (2)记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】。