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引理 (2)中矩阵的不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，
其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去s.
证明 因为
E1 A1
E
A
E2 A2
Es As
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由于每个λEi-Ai的不变因子为1,1, …,1, di(λ) ，故可 用初等变换把它变成
而1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)是它的不变因子.
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定理14 数域P上n×n方阵A在P上相似于唯 一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形.
证明 设A的(λE-A的)不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，其中d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) 的次数 ≥1，且1的个数＝d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和减去 s，设di(λ)的伴侣阵是Bi ，则作
1
1
di ( )
进而用初等变换将λE-A变成
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1
1
d1( )
1
1
d2( )
(3)
1
1
ds ( )
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在λ－矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成
1
1
d1( )
d 2( )
d
s
(
)
由于 d1(λ) | d2(λ) |… |ds(λ) ，故它是λE-A的标准形，
第七节* 矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上A一个若当形矩阵. 这 一节将对P来讨论类似的问题. 我们证明P上必相似 于一个有理标准形矩阵.
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定义8 对数域P上的一个多项式
d(λ)=λn+a1λn-1+…+an
称矩阵
0 1
0 0
0 0
an an1
A
0
1
0
an2
(1)
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B1
B
B2
Bs
如引理所述，B的不变因子与A的不变因子完全相
同，故B相似于A ，即B是A的有理标准形矩阵.
又B是由A的不变因子唯一决定，故B由A唯一
决定.
证毕.
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把定理14的结论变成线性变换形式的结论就 成为
定理15 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换， 则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理 标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称 为线性变换A的有理标准形.
0
0
1
a1

为多项式d(λ)的伴侣阵.
容易证明，A的不变因子(即λE-A的不变因子)是
1,1,, 1 , d()
n1个
(见习题3)
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定义9 下列准对角矩阵
A1
A
A2
(2)
As
其中Ai分别是数域P上某些多项式 di(λ) (i=1,2, …,s) 的伴侣阵，且满足d1(λ)| d2(λ)|…|ds(λ) ， A就称为P 上的一个有理标准形矩阵.
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1303:1 1:4103: 11:41D ecembe r 13, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 3时11 分41秒0 3:11:41 20.12.1 3
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 3时11 分42秒 上午3时 11分03 :11:422 0.12.13
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
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• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1303:11:4213 December 202003:11
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例 设3×3矩阵A的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它 的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为
A1 1 0 0
0 0 1 0 1 2
A2
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020