8800°°＝2csoisn1100°°－2sin
10°cos 10° sin 10°
＝ cos 2sin
1100°°－ssiinn
2100°°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
20°
＝cos
10°－2sin（30°－10°） 2sin 10°
＝cos
10°－2（sin
例2求证：tan2x＋tan12x＝2（13－＋ccooss44xx）.
【
解
析
】
证
法
一：左边来自＝sin2x cos2x
＋
cos2x sin2x
＝
sin4x＋cos4x sin2xcos2x
＝
（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x 14sin22x
＝
1－12sin22x 14sin22x
＝
sinπ4 －x cosπ4 －x
·cos2π4 －x
＝4sin（π42c－osx2xc－os1π）4 －2 x＝2sincoπ2s22－x2x＝2ccooss222xx
＝12cos 2x.
(2)由 sin x＋cos x＝15，两边平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sinxcos x＝－2245. ∴(sinx－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295.
【点评】①三角函数式的变形，主要思路为角的 变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1 的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心.②三 角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相 对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量 去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值.
二、三角恒等式的证明
【点评】三角恒等式的证明一般有三种方式：从
左到右，从右到左，左＝右＝某一三角式.一般来说都 是从复杂的一端向简单的一端证明.
三、求值 例3求1＋2sicnos202°0°－2sin 10°·tan 80°的值.
【解析】原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－
2sin
10°·csoins
值是( C )
A.－2 5 3
B.2 5 3
C.－45
D.45
【解析】∵cosα－π6 ＋sin
α＝cos
αcos
π
6＋
sin
αsin
π
6 ＋sin
α＝
23cos
α＋12sin
α＋sin
α＝
23cos α＋32sin α
＝ 312cos α＋ 23sin α＝ 3sinα＋π6 ＝45 3， ∴sinα＋π6 ＝45. ∴sinα＋76π＝－sinα＋π6 ＝－45.故选 C.
4.已知 tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则 1
tan α·tan β＝__2__.
【解析】tan α·tan β＝1－tatnanα（＋α＋taβn）β ＝1－24＝12.
【知识要点】 1．三角变换的一般方法 (1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如 α
＝(α＋β)－β，π4＋x＝π2－π4－x，α＝2·α2 等；
(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成 弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；
(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式 等；
(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角， 二看名称，三看结构．
2．三角变换的常见题型 (1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行 三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意 降次，减少角的种类及三角函数种类，注意角的范围及 三角函数的正负． (2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特 殊角的关系． (3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边 的差异，有目的地化繁为简，左右归一．
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（30°＋17°co）s 1－7°sin 17°cos 30°
＝
sin30°cos
17°＋cos
30°sin 17°－sin cos 17°
17°cos
30°
＝sin 30°＝12.故选 C.
3.已知 cosα－π6 ＋sin α＝45 3，则 sinα＋76π的
第20讲 三角恒等变换
【学习目标】 1.能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正 切公式进行简单的恒等变换. 2.能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方 法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.
【基础检测】
1.若 tan
θ＋ 1 tan
θ＝4，则
sin
2θ＝(
D
)
1
1
1
1
A.5
B.4
C.3
D.2
【 解 析 】 ∵tan
θ
＋1 tan
θ＝
sin cos
θθ ＋
cos sin
θ θ＝
ssinin2θθ＋cocsos2θθ＝12sin12θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选 D.
sin 2.
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
C
)
A.－
3 2
B.－12
1 C.2
3 D. 2
1－12sin22x 18（1－cos 4x）
＝
8－4sin22x 1－cos 4x
＝
4＋4cos22x
1－cos 4x
＝4＋2（1－1＋cosco4sx4x）＝2（13－＋ccooss44xx）＝右边.
证法二：右边＝2（2＋21si＋n2c2oxs 4x） ＝2（2＋2si2nc2o2sx22x） ＝2（4s1i＋n2cxocso2s22xx） ＝（sin2x＋cos22xs）in22＋xc（osc2xos2x－sin2x）2 ＝2（s2isnin4x2＋ xcocso2sx4x）＝tan2x＋tan12x＝左边.
一、化简
例1(1)化简：2ta2ncoπs44x－－x2scions22xx＋＋12π4 ；
π (2)已知－ 2 ＜x＜0，sinx＋cos
x＝15.
求3sin2x2－t2asninx＋x2ctao1ns
x2＋cos2x2的值. x
【解析】(1)原式＝ 2
12（4cos4x－4cos2x＋1）
·
π 又∵－ 2 ＜x＜0， ∴sin x＜0，cos x＞0，sin x－cos x＜0，
故 sin x－cos x＝－75.
3sin2x2－2sin
x 2cos
tan x＋ta1n
xx2＋cos2x2＝2scsinion2sx2xx－＋scisnoinxs＋xx 1
＝sin xcos x(2－cos x－sin x)＝－1225×2－15 ＝－110285.