变量代换在求极限中的应用1 引言数学分析的理论与方法越来越被广泛地用于工业、农业、军事和科学技术等领域．极限尤其是函数极限是数学分析中非常重要的内容．求极限的方法是微积分学中的基本方法，它是人们从有限认识无限、从近似认识准确、从量变认识质变的一种数学方法，也是教学中的一个难点．求出已知数列或函数的极限是学习数学分析必须掌握的基本技能，掌握了极限的求法就为学好数学分析打下了扎实的基础．数学分析中讲了多种求极限的方法，在众多的求极限方法中变量代换法在解决那些复杂、繁琐的极限问题时显得尤为重要．而现在的教材、参考书虽然对此有所涉及，但其介绍的不够详细，也有些零散，不太系统，不便于初学者的学习和掌握．鉴于此，现对变量代换法求极限作进一步的探讨，并进行归纳总结，使其更系统，更便于了解和掌握．2 变量代换在求极限中的应用2．1 “变量代换法”在数列极限计算中的应用[])4746(11-P 例 设{}n a 为Fibonacci 数列，即：1a =1，2a =1，n n n a a a +=++12（n=1，2，…）记nn n a a x 1+=，求.lim n n x ∞→解 由已知条件知1121++++=n n n n a a a a ，即n n x x 111+=+．作变换n n x y 1=，此即n n y y +=+111且112111===a a x y ．故618.0lim =∞→n n y …() 618.11lim 1limlim =+==∞→∞→∞→n n n n n n y y x [])47(12P 例 证明数列2，212+，21212++，…收敛，并求其极限解 从数列特征可以看出，相邻两项的关系是nn x x 121+=+ （１）因此，设{}n x 收敛，则极限A 满足方程 =A 2+A1， 考虑到0>n x ，所以21+=A ． 作变换n n n A x αα++=+=21 （２）将(2)代入(1)得n nn ααα++-=+21)21(1 （３）至此我们已将满足(1)的序列A x n →}{的问题化为满足(3)的序列0}{→n α的问题．实际上2111-=-=A x α，211<α， 由(3)应用数学归纳法，易证n n 21<α． 故 21)21lim(lim +=++=∞→∞→n n n n x α．说明 递推形式的序列，可以进行变量代换与变形，使变成已知极限或易于计算的极限． 2．2 “变量替换法”在一元函数极限计算中的应用 定理[])83(2P (复合函数极限)设复合函数)]([x g f ，若1) b x g ax =→)(lim ，2) )(a x o ∈∀，有)()(b x g u o∈=， 3)A u f bu =→)(lim ，则()[]A x g f ax =→lim ．证明 由条件(3)，即0>∀ε，0>∃η，η<-<∀b u u 0:，有ε<-A u f )(． 由条件(1)，对上述0>η，0>∃δ，δ<-<∀a x x 0:，有()η<-b x g 再由条件(2)，有()η<-=-<b u b x g 0，于是0>∀ε()0>∃η，从而0>∃δ，δ<-<∀a x x 0:，有()()η<-=-<b u b x g 0，从而()()[]ε<-=-A x g f A u f ，即()[].lim A x g f n =∞→说明 该定理是求极限进行换元的理论根据．为了将未知的极限化简或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程.例[])1514(23-P 若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞↔lim ，试证ab ny x y x y x n n n n =+++-∞→1121lim.证明 作变换n n a x α+=，n n b y β+=，则∞→n 时，n α，0→n β，于是，()()()()()()nb a b a b a n y x y x y x n n n n n n 11211121βαβαβα+++++++++=+++--nnb na ab n n n nn11212121βαβαβααααβββ+++++++⋅++++⋅+=-(1)显然，∞→n 时第二、三项趋于零．现证第四项极限为零.事实上，因0→n α(当∞→n 时) 故{}n a 有界.0>∃M ，使得()N n M n ∈∀≤α，故00111121→++≤+++≤--nMnn n n n n ββββαβαβα ，从而（1）式以ab 为极限.说明 本例的变量具一般性，常常用这种变换可将一般情况归结为特殊情况，如本例原来是已知a x n n =∞→lim ，∞→=n n b y lim ，求证ab ny x y x n n n =++∞→11lim.变换后，归结为已知0lim =∞→n n α，0lim =∞→n n β，求证0lim11=++∞→nn n n βαβα .例4 求.lim 2222xxx xx ee e e --→-++分析 此极限式看上去形式复杂，需要进行化简处理，将函数中的一个单元(子函数xe 2)作为一个整体进行变量替换u e x=2，该极限就变成一个容易求解的等价极限形式，从而使问题迎刃而解.解 令u e x=2，则uex12=-，且当+→0x 时，+∞→u .所以 原式111lim 11lim 22=-+=-+=+∞→+∞→u u u u u u u u例5 求.21lim0xa x x -→分析 该极限式看起来形式简单，但却没有直接可利用的公式套用，需要进行变量替换．令u a x =-3，可转化为对数形式的函数极限，然后利用第二个重要极限的结果计算．例6 求极限.3521lim 4x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→ 解 令a x =--352，ax 3235+=，∞→x 时，0→a ．原式()616112501lim e a aa =+=+→例7 求极限.11lim32--→x x x解 令6x t =，则23t x =，3t x =，2→x 时，64→t ．原式=41616511lim 11lim 2643264=+++=--→→t t t t t t t2．3 “变量代换法”在二元函数极限计算中的应用 定理 （复合函数极限）设有复合函数()[]y x g f , 1）()b P g P P =→0lim2）()δ;0P UP o∈∀有()()b U P g u o ∈=3）()A u f bu =→lim ，则()A u f P g f bu P P ==→→)(lim )(lim 0证明 由条件3）即0,00>∃>∀δε，使得当()0;δb U u o∈时，都有()ε<-A u f ．由条件1）即对上述0,00>∃>δδ，使得当()δ;0P U p o∈时，都有()0δ<-b P g ．再由条件2）()00δ<-=-<b u b P g ，于是()000>∃>∀δε， 从而,0:,00δδ<-<∀>∃P P p 有(()0δ<-=-b u b P g ，从而()()[]ε<-=-A P g f A u f即()A P g f p p =→)(lim 0．例8 求yx x ay x xy+→∞→+22)11(lim ，其中0≠a ．解 因为yy x xxy yx x xyxy)(22)11()11(2+++=+，当a y x →∞→,时，作变换 令t xy =，相应有t →∞，则e txy t t xy ay x =+=+∞→→∞→)11(lim )11(lim 所以yy x xxyay x y y x xxy a y x yx x ay x xye xy xy )(2])11[ln()(22lim ])11[(lim )11(lim 2++→∞→+→∞→+→∞→=+=+.2212lim1)(2lim)11ln(lim 2aaxy y y y x xxye eeeay x ay x xy ay x ====⋅+⋅+⋅+→∞→→∞←→∞→例9 求x e xy ay x 21lim -→+∞→，其中0≠a ．解 当a y x →+∞→,时，作变换 ,t xy =相应有+∞→t ，因为y xy e x e xy xy ⋅-=-2121，又因为+∞=-=-+∞→→+∞→t e xy e t t xy a y x 21lim 21lim，且a y a y x =→+∞→lim ， 所以+∞=-→+∞→x e xy ay x 21lim上述两例说明，当)0(,常数≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作代换)(∞→=t t xy ，利用已知一元函数的极限公式来求使计算简便可行．例10 求().)(lim 222y x y x ey x +-+∞→+∞→+解 因为y x y x y x eye x e y x ey x 22)(22)(2222)()(⋅⋅-+=+++-当+∞→+∞→y x ,时， 作变换t y x =+，相应有+∞→t ，则0lim lim 22lim ,0lim )(lim 222222)(22=⋅=⋅⋅==++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→++∞→+∞→y y x x y x y x y x t t y x y x e ye x e y e x e t e y x所以.0)(lim )(222=++-+∞→+∞→y x y x ey x此例说明，当+∞→+∞→y x ,时，二元函数),(y x f 的极限作代换)(+∞→=+t t y x ，然后用已知一元函数的公式来求．综上所述，根据函数),(y x f 的特殊类型，利用两个变量y x ,的和t y x =+，平方和t y x =+22及乘积t xy =等作代换，把所求极限问题整体或部分转化为一元函数求极限的问题．例11 求()().2lim22220,0,y x y x y x +→ 解法一 因为22222222122x y x x y x y x ≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，0>∀ε，取02>=εδ， 当δδ<<y x 2,2，且()()0,0,≠y x 时，有εεδ<=<≤-+2202222222x y x y x 由极限的定义，得()()02lim 22220,0,=+→y x y x y x ．解法二 作变换⎩⎨⎧θθsin cos r y r x ==，当()()0,0,→y x 时，有+→0r （r 代表()y x ,到()0,0的距离）θθθθ22222242222sin cos 2sin cos 22r rr y x y x ==+， 因为1si cos 22≤θθn ，所以()()0sin cos 2lim 2lim 222022220,0,==++→→θθr y x y x r y x ． 此例说明用极坐标代换求极限比用定义求极限简单．对函数的自变量作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，这时()()0,0,→y x 就等价于0→r ，极限值与极角θ无关．例12 求()()().2lim22330,0,y x y x y x ++→ 解法一1） 令kx y =，则()()()0112lim 2lim2322330=++=++→=→k k x kx x kx x x kxy x ，其值与k 无关．2）因为()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++≤++2233223322y x y x y x y x x y y y x y x y x y x x y x y x >≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+,21120,21122323()y x 2,2max ≤，所以只要取2εδ=，当()()0,0,,,≠<<y x y x 且δδ时，就有()ε<-++022233yx y x ，因此()()().02lim 22330,0,=++→y x y x y x此解法用变量代换kx y =求极限其结果与k 无关，但还需用极限定义加以验证解法二 令⎩⎨⎧θθsin cos r y r x ==当()()0,0,→y x 时，有+→0r2sin cos sin cos 3333≤+≤+θθθθ因为)sin (cos 2lim )(2lim 3302233)0,0(),(=+=+++→→θθr y x y x r y x 所以由以上例题可以看出，选择恰当的变量代换，在求解二元函数极限时显得十分重要．例13 求.11)(3lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，时）当（)0,0(,→y x ，有+→0r ，则6)11(3lim 1)1()11(3lim 113lim 11)(3lim20222202202222)0,0(),(=++=-+++=-+=-++++++→→→→r r r r r r y x y x r r r y x例14 求.)2ln(lim 2222)0,0(),(yx y x y x +--→解 作变换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r ，则21222lim )2ln(lim )2ln(lim 202202222)0,0(),(-=--=-=+--++→→→r r rrr y x y x r r y x 洛比 例15 求.)(lim222)0,0(),(xy y x y x +→解 因为)ln(222222)(y xxy xy e y x +=+， )ln()()ln(20222222y x y x y x xy ++≤+<令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r ，则0ln lim )ln()(lim 2202222)0,0(),(==++-→→+rr y x y x r y x ， 于是 0)ln(2lim22)0,0(),(=+→y x xy y x ，因此1)(lim022)0,0(),(==+→e y x xy y x例16 求.2lim22y x y y x +∞→∞→解 作变换 11,--==v y u x 当∞→∞→y x ,时，有)0(0,0≠→→uv v u ，则222)0,0(),(21211)0,0(),(222lim )()(2lim 2lim v u v u v u v y x y v u v u y x +=+=+→---→∞→∞→再令⎩⎨⎧==θθsin cos r v r u ，当)0,0(),(→v u 时，相应有+→0r ，则0sin cos 2lim sin cos 2lim 2lim 202230222)0,0(),(===+++→→→θθθθr rr v u v u r r v u ()1sin cos 2≤θθ) 说明 由以上几个例题可以看出当)0,0(),(→y x 时，二元函数),(y x f 的极限用极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，相应于+→0r ，将)sin ,cos (),(θθr r f y x f =化成)()(θϕϕ⋅r 的形式计算比较简单，通过变换可化不定式为定式求出极限，也可以将其化为无穷小量与有界变量的乘积，然后利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量求出极限．3 总结通过以上的分析可以看出变量代换法在数学分析的极限计算中普遍使用，作为一种基本的运算技巧对问题的解决具有十分重要的意义．它是数学分析教学中将复杂的数学形式及不可直接求解的形式通过变量代换进行形式转化，使问题变得简洁而易于求解的重要方法，同时也是转化思想在数学中具体而深刻的体现，这足以说明该方法在数学分析运算中具有重要的作用．所以，在数学分析课程教学中应突出强调该方法，也应教会学生熟练灵活运用，以提高运算能力，保证学生学好用好数学分析知识．。