导 数一.知识梳理1．导数的概念及几何意义. 2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx (n ∈N) ; )v (u '±=v u '±' 3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值； ③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用． 二．基础训练1.(04湖北高考)函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( ) A.0>a B.0≥a C.a<0 D.0≤a2．（04江苏高考）函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-19 3.(05南通示范高中联考)a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有 A 0个根 B 1个根 C 2个根 D 3个根4. (05南通四县市联考)设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5.(05宿迁三模) 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D3 6．（05湘.19）设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．q x () = -2⋅cos x ()三．典型例题例1. （05全国Ⅱ. 21）设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ． （I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．例2(05苏州一模)已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3 （03天津高考）已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
①a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。
②若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
导数巩固练习1.(05苏,锡，常,镇一模)已知函数f(x) =2x 3-21x 2+m (m 为常数)图象上点A 处的切线与直线x-y+3=0的夹角为450,则点A 的横坐标为 ( )A .0B .1C .0或61 D. 1或612.(05南通一模)已知函数f(x) =x 3+bx 2+cx+d 在区间[-1,2]上是单调减函数,那么 ( )A. 有最大值215B. 有最大值-215C. 有最小值215D.有最小值-2153．（04苏州一模）若函数()a x x x f --=33在区间[]3,0上的最大值，最小值分别为M ，N ，则M-N 的值为 ( )A.2B.4C.18D.204．(04徐州一模)抛物线y=12x 2+x+2与圆x 2+y 2=r 2(r>0)的一个交点为P ，且它们在交点P 处的切线互相垂直，则r 的一个值是 ( )5.(05重庆高考)曲线y=x 3在点(a,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴,直线x=a 所围成的三角形的面积为1,则a=(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间．8．已知函数f(x)=x 3+(b-1)x 2+cx(b 、c 为常数).(I) 若f(x)在x=1和x=3处取的极值,试求b 、c 的值；(II) 若f(x)在x ∈(-∞,x 1)、(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足x 2-x 1＞1,求证：b 2＞2(b+2c)；(III)在(2)的条件下,若t ＜x 1，试比较t 2+bt+c 与x 1的大小,并加以证明.参考答案基础训练:1.C2.C3.B4.C5.A6.解: (I)因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0， g(t)=0。
f(t)=0，即t 3+at=0。
因为t≠0,所以a=-t 2; g(t)=0，即bt 2+c=0，所以c=ab ．又因为f(x),g(x)在点(t ，0)处有相同的切线，所以)(x f ' =)(x g '． 而)(x f '=3x 2+a, )(x g '=2bx ，所以3t 2+a=2bt ． 将a=-t 2，代入上式得b=t ， ,因此c=ab=-t 3, 故a=-t 2，b=t ，c=-t 3。
．(Ⅱ)y= f(x)-g(x)=x 3- tx 2- t 2x +t 3 y '=3x 2-2tx-t 2=(3x+t)(x-t)．当y '= (3x+t)(x-t)<0时，函数y= f(x)-g(x)单调递减．由y '<0，若t>0，则-3t <x<t ；若t<0，则t<x<-3t.由题意，函数y= f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，则(-l ，3)⊂( -3t，t)或 (-l ，3)⊂ (t ，-3t)所以t≥3或-3t≥3．即t≤-9或t≥3.又当-9<t<3时，函数y= f(x)-g(x)在(-l ，3)上不单调递减． 所以t 的取值范围为（-∞，-9]∪[3，+∞） 典型例题：例1．分析：历经多年的高考命题实践，对“导数”的考查已从“导数”的简单应用，如求曲线切线的斜率、研究函数的单调性、极值、最值，拓展到利用导数研究不等式、函数图象的性态、方程根的分布与个数等问题，问题(Ⅱ)即是利用导数研究函数图象性态的问题， (Ⅱ)也可等价变形为一个方程根的分布（个数）问题：“当a 在什么范围内取值时，方程f(x)=0有且仅有一个根”。
解：(I) )(x f '=3x 2-2x-1．若)(x f '=0，则x=-31或1，当x 变化时，)(x f '，f(x)变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f(-3)=27+a, 极小值是f(1)=a-1．(Ⅱ)函数f (x)=x 3-x 2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知x 取足够大的正数时，有f (x)>0，x 取足够小的负数时有f(x)<0．所以曲线，y=f(x)与x 轴至少有一个交点．结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值寺275+a<0，即a∈(-∞，-275)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上；当f(x)的极小值a-1>0，即a∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在(-∞，-31)上．所以当a∈(-∞，-275)时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点． 例2．分析：对于一些代数不等式，人们习惯运用基本不等式和不等式的基本性质进行证明，但有时技巧性很强，增加了问题解决的难度．如果能凭借导数这个先进工具，将不等式的证明转化为求函数的最值或值域问题，那么不等式的证明就会变得简单明了．证:1)略;2)由f(O)=f(1)知a=-1，所以f(x)=x 3-x+b ．设g(x)=x 3-x ，则()g x '=3x 2-1由()g x '>0得x<-3或x>3，所以g(x)在(0)上递减，在,1]上递增．当x∈(0,1)时,g(x)min ，且g(0)=g(1)=0，∴≤g(x)≤0． 当0<x l <x 2≤1时，有 |f(x 1)-f(x 2)|=|g(x 1)-g(x 2)| ≤|g(x 1)|+|g(x 2)|⨯<1 例3．分析：传统的解析几何中涉及切线的问题，常规的处理办法是用“△”法来解决的，但有时计算量较大，容易出错．如果能灵活运用导数的几何意义去解决，则问题的解决往往变得简单，清楚．解：⑴ x x y 22+=的导数为22+='x y曲线1C 在点()12112,x x x P +的切线方程是()()()11121222x x x x x y -+=+-即()21122x x x y -+= ①a x y +-=2的导数x y 2-='曲线2C 在点()a x x Q +-222,的切线方程是()()22222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ②如果直线L 是过P 和Q 的公切线，则①②都是L 的方程，所以⎩⎨⎧+=--=+ax x x x 2221211，消2x 得0122121=+++a x x 若 ()01244=+⨯-=∆a 即21-=a 时，解得211-=x此时点P 与Q 重合，即当21-=a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线为41-=x y 。
⑵证明：由⑴可知，当21-<a 时，1C 和2C 有两条公切线，设一条公切线上切点为()()2211,,,y x Q y x P ，其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121-=+x x ，()()()a a x x x a x x x y y +-=++-+=+-++=+112211212212121 ，所以线段PQ的中点为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21,21a ，同理，另一条公切线Q P ''的中点也是⎪⎭⎫⎝⎛+--21,21a ，所以公切线段PQ 和Q P ''互相平分。
巩固练习1.C2.B3.C 4．C 5.±1 6.c 7．解：(I)由f(x)的图象经过P(0，2)，知d=2，所以f(x)=x 3+bx 2+cx+2，)(x f '=3x 2+2bx+c ．由在M(-l,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0．即f(-1)=l ，)1(-'f =6．∴⎩⎨⎧=+-+-=+-121623c b c b 解得b=c=-3．故所求的解析式是f(x)=x 3-3x 2-3x+2． (Ⅱ))(x f '=3x 2-6x-3，令)(x f '=O ，解得x 1=1-2，x 2=l+2 当x<1-2，或x>l+2时，)(x f '>0； 当1-2<x<l+2时，)(x f '<0.故f(x)=x 3-3x 2-3x+2在(一∞，1-2)内是增函数，在(1-2，l+2)内是减函数，在(1+2，+∞)内是增函数．8． (I) f /(x)=x 2+(b-1)x+c , 据题意知,1和3是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根, ∴1-b=1+3=4, c=1×3=3,即b=-3, c=3 (II) 由题意知,当x ∈(-∞,x 1)、(x 2,+∞)时, f /(x)＞0；当x ∈(x 1,x 2)时, f /(x)＜0. 所以x 1、x 2是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根,则x 1+x 2=1-b, x 1x 2=c.∴b 2-2(b+2c)= b 2-2b-4c=[1-(x 1+x 2)2]-2[1-(x 1+x 2)]-4x 1x 2=(x 1+x 2)2-1∵x 2-x 1＞1, ∴(x 1+x 2)2-1＞0 ∴b 2＞2(b+2c). (III)在(II)的条件下,由上题知x 2+(b-1)x+c=(x-x 1)(x-x 2)即x 2+bx+c=(x-x 1)(x-x 2)+ x 所以 (t 2+bt+c)-x 1=(t-x 1)(t-x 2)+t-x 1=(t-x 1)(t+1-x 2) ∵x 2＞1+x 1＞1+t, ∴1+t-x 2＜0.又0＜t ＜x 1 ∴t-x 1＜0.∴(t-x 1)(t+1-x 2)＜0,故t 2+bt+c ＞x 1.。