一复习回顾
1 平行六面体法则
2.共线向量: (1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在
直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量),记作
(2)共线向量定理:
对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条件是 存在实数λ使a= λb. (3)推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是 存在实数t，满足等式
BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1) Z ∣BE1∣=√17／4 ∣DF1∣=√17／4 BE1· DF1 =15／16 ∴cos＜BE1，DF1＞ = ∣BE1∣· ∣DF1∣ =15／17 BE1· DF1 D A
D1
A1
F1 E1 B1
C1
C
B
Y
X
2已知在一个二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l AB=4cm,， AC=6cm，BD=8cm, CD=2√17求异面直线AC、BD所成角
一复习回顾
C
P
4空间向量基本定理：
A1
O
A
B
B1 P1
• 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。 • 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
5 空间两个向量的数量积
（1）

（2）
（3）
数量积的运算律
=∣CA∣2+∣AB∣2+∣BD∣2
=b2+a2+b2+2b2cos1200 =a2+b2 ∴∣CD∣=√a2+b2 A B
C
D
D’
2 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=1200 求(1) ︱BD1︳ D1 (2)直线BD1和AC夹角的余弦值
A1
B1
C1
D A B
C
知识方法总结 利用向量解几何题的一般方法
1 把线段或角度转化为向量表示,并用已知 向量表示未知向量,然后通过向量运算去 计算或证明!
2 解决途径︰坐标式和向量式
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1= Z 求BE1与DF1所成的角的余弦值
解析：不妨设 正方体的棱长 为1；以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ
D1
F1 E1 B1
C1
A1
O D A
C
B
Y
X
解：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O—xyz，则 B(1，1，0)， E1(1，3／4，1) ，D(0，0，0)，F1(0，1/4，1)
OP = OA + t a. 其中向量a叫做直线l的方向向量. OP = (1- t)OA + t OB. 说明: (1),(2)都叫做空间直线的 向量参数表示式. (2) (1)
P
B a
A
OP 、OA 、OB.的终点共线的充要条件是 存在实数m、n，且m+n=1，使得 O
OP = mOA+nOB. (3)
A A’
C’ D’
B’ D C
B
∴∣AC∣=√85
例3 已知 正方形ABCD 求证 CA1⊥平面AB1D1 B 证明 连结 A1C1 ∵CC1⊥平面A1B1C1D1 B1D1⊥A1C1 ∴A1C⊥B1D1 同理可证 A1C⊥AD1 ∵B1D1∩AD1=D1 ∴CA1⊥平面AB1D1
A
Z D
C
A1
y
一复习回顾
3 共面向量定理：
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序 → → → 实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 1 → → → → 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 2 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C， → → → → OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞ 四点P、A、B、C共面。 3
（ 1）
（ 2） （ 3）
6、向量的直角坐标运算.
设 则
7空间向量的夹角和距离公式
(1) 夹角、
(2) 空间两点间的距离公式、
学习目标：
1掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。 2掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离
3学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）
二知识运用与研究
∴(2√17)2=62+42+82+2×6 ＜CA，BD＞
×8cos A
C B D
∴cos＜CA，BD＞=1200 ∴所求角为600
例4.已知在平行六面体ABCD-A’B’C’D’ 中,AB=4,AD=3,AA’=5
解 ∵AC'=AB+AD+AA'
→
→
→
→
→ → → → 2 2 ∴∣AC'∣ =(AB+AD+AA') =∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2 → → → → → → +2(AB· AD+AB· AA'+AD· AA') =42+32+52+2(0+10+7.5) =85
C1
D1
B1 X
三 练习反馈
1
已知线段AB在平面α 内，线段AC⊥α ，线段BD⊥AB 线段DD'⊥α ，∠DBD1=300如果AB=a，AC=BD=b 求C、D间的距离
解 由已知有AC⊥AB <CA· BD>=1200 → 2 → → → → → 2 ∣CD∣ =CD· CD= (CA+AB+BD) → → → → → → +2CA· AB+2CA· BD+2AB· BD