积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 / s
V Vs
B
ds
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c cVsds
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2J (斯托克斯定理）
不随时间变化（汤姆逊定理）
J不随时间变化
漩涡理论
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等
故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:
xA a,
yA
4 a
t
xB a,
yB
4 a
t
两点涡相对位置保持不变， 它们同时沿ｙ方向等速向下移动。
情况 ( b )
Ａ点：vxA
dxA dt
0
B点：
vxB
dxB dt
0
vyA
dyA dt
4 a
vyB
dyB dt
4 a
Ａ点和Ｂ点的运动方程为：
rA a,
A
4 a2
t
rB a,
2
相切。
v3 v2
1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk 该处的旋转角速度
xi y j zk
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
z,
t
)
积分时将ｔ看成参数
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
ＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：
v
2
sin d
4 R 1
4 R
(cos1
cos2
)
方向垂直于纸面向外
直涡丝ＭＮ
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v
4 R
(cos1
cos2 )
4 R
[1
(1)]
2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v
4 R
(cos1
cos2
)
4 R
[0
旋涡理论
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 同瞬时的流速矢量 v 与此线
与此线相切。 3
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
ABDB' A'EA AB C BA L
AB BA
C L 2 nd 漩涡理论
σ
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2nd 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
VR2
旋涡中心 r 0, V 0
旋涡中心的相对压力为
p p0 VR2
旋涡外部:速度越大压力越小 旋涡内部:速度越小压力越小
解： Vx V sin r sin y
Vy V cos r cos x
容易验证: ωx＝ωy＝０
z
1 2
( Vy x
Vx y
)
涡线方程:
dx dy dz
x y z
积分得: ｘ=Ｃ1 ｙ=Ｃ2 垂直于xoy平面的直线
例5.3 在大圆Ｓ内包含了A、BC、D四个旋涡, 其强度分别为: ΓA = ΓB = ＋Γ ΓC = ΓD = －Γ
即 d 0
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
r
Vy
cos
r
dx R sind dy R cos d
s V ds Vxdx Vydy
rR
rR
2
0
R2 (
sin2
R2
R2
cos2
R2
)Rd
2
dy
dx
d
本章重点： 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度,速度环量,圆柱形涡的速度分布，压力
分布）
2.斯托克斯定理，汤姆逊定理，海姆霍兹定理 前提结论
0
vyA
dyA dt
2
1 2a
4 a
B点：
vxB
dxB dt
0
vyB
dyB dt
2
1 2a
4 a
积分得: xA c1,
yA
4 a
t
c2
xB c3 ,
yB
t
4 a
c4
ｔ＝０时 xA a, yA 0, xB a , yB 0
代入方程得: Ｃ1=ａ Ｃ2=０ Ｃ3=-ａ Ｃ4=０
p
p0
1 2
V2
VR2
求解过程 欧拉方程（略去质量力）
Vx
Vx x
Vy
Vx x
1
p x
Vx
Vy x
Vy
Vy x
1
p y
Vx y Vy x
2 x 1 p x
2 y 1 p y
2 (xdx ydy) p dx p dy dp
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
该处的速度
v vxi vy j vzk
流速与流线相切
dx dy dz v vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
ds
ds
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流 截面积为无限小的流束 称为元流
AB
AB
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds 2 nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
求:沿周线S的速度环量
解: 由斯托克斯定理
s Vsds A B C D
s
0
S所围区域内速度环量为零，但该区域内并 非处处无旋。
例5.4
已知速度场
Vx
y x2 y2
求:绕圆周r=R的速度环量
Vy
x2
x
y2
解： 在极坐标下 x r cos y r sin
在圆周r=R上
Vx
sin
V
α Vs
ds C
cV ds cVxdx Vydy Vzdz
漩涡理论
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
Vxdx
AB
Vy dy
Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
V Vs
B
对于有旋场:
ds
AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时
间衰减。
漩涡理论
§５-４ 毕奥一沙伐尔定理