11．若流场不是静止的，具有均匀速度 V，毕奥——沙伐尔诱导速度场的计算公式所计算出
的速度是否包含有均匀速度 V？
12．圆柱形涡，在 r< R 和 r>R 两个流场中，压力和速度分布如何？
13.已知平面流动的速度分布为：
u = x2 − y2 + x
v = −2xy − y
证明沿曲线 R2 = x2 + y2 的速度环量和流量均为零。
6.B-S 定理只适用于（
）
A）理想流体
B）不可压缩流体
C）粘性流体
D）理想流体或粘性流体
7．为什么涡线不能在流场中终止，只能终止在固体边界，或者流体边界，或者首尾相接形
成涡环。
8.对于无旋流场，存在速度势，是否存在环量Γ？为什么？
9．流体周线与流线有何差别？
10．涡线所诱导的速度场都是无旋场吗？为什么？
3.海姆霍兹定理
定理一：同一瞬时，涡管各截面上的涡管强度不变，
即 ∫∫ωndσ = ∫∫ ωndσ = const
σ1
σ2
定理二：前提为理想、正压流体，质量力有势，涡管永远由相同的流体质点所组成，又称
涡管保持定理。
定理三：前提为理想、正压流体，质量力有势，任何涡管的旋涡强度不随时间变化，又称
涡管强度保持定理。
推论二：无旋场内有一物体，则包含该物体在内的任意封闭曲线的环量不变。
速度环量Γ的计算： 归纳如下：
（1）沿任意闭曲线的速度环量
对于无旋场：
∫ ∫ ∫ Γ =
B
A Vx dx + Vy dy + Vz dy =
B ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dy =
A ∂x
∂y
∂z
B dϕ = 0
A
对于有旋场：
cy y2 + z2
ωy
=
1 (∂vx 2 ∂z
− ∂vz ) = ∂x
cz y2 + z2
ωx
=
1 (∂vz 2 ∂y
−
∂vy ) ∂z
=0
JK 所以：ω =
c
KK (z j − yk)
y2 + z2
2）由涡线微分方程 dx = dy = dz ， ωx ωy ωz
有 积分得
dy = − dz zy y2 + z2 = c1
R2
+
⎤ 1⎥
⎪⎫ ⎬
R42 + R22 ⎥⎦⎪⎭
四、思考题及练习题
1．一物体在静止不可压缩理想流体中作等速直线运动，则流场为（ ）。
A）定常不可压缩无旋流场
B）静止，不可压缩理想流场
C）不可压缩有旋流场
D）不可压缩非定常流场
JK
v∫ ∫∫ 2．斯托克斯定理 Γ = c vsds = 2 wndσ ，若 Γ =0，而ω 不一定为零，这是因为（ ）。 σ
R3
R2
Γ
Γ
R1
Γ
x = c2
5．试求图 5-2 所示的马蹄涡对流场中任意一点 处的诱导速度。 解：设流场中任意一点 A，分别距三条涡线的垂
α4
α5
α6
α2 α3
α1
直距离为 R1, R2 , R3 ，由直线涡的公式
图 5-2
v
=
Γ 2π h
(cos a1
−
cos a2 )
应为三条涡线对 A 点的诱导速度之和，即：
R4 r2
− ρ gz
(r > R)
p0
+
ρω 2 2
r2
−
ρω2 R2
−
ρ gz
(r < R)
二．重点，难点
重点：
1. 旋涡场的几个概念，如涡线，涡管，涡管强度，速度环量，圆柱形涡的速度分布，
压力分布规律。
2.斯托克斯定理，汤姆孙定理，海姆霍兹三定理的前提，结论。
3. 斯托可斯定理的应用，速度环量的计算，旋涡强度的计算。
4．毕奥——沙伐尔定理的应用。
难点：毕奥——沙伐尔定理的应用。
三、例题
1．已知闭曲线为半径 R=0.5m 的圆，其上各点上流体质点的速度 vθ = 2 m s ，试求沿此闭曲
线的速度环量。
v∫ ∫ 解： Γ =
R=0.5 vθ dl =
2π 0
vθ
Rdθ
=
6.28 m2
s
JK
2．如图 5-1 的平面极坐标内，已知 r > a 时ω = 0 ，当 a ≤ r 时，ωx = ωy = 0 ，ωz = ω（顺
A）σ 不是 c 所围的区域
B）流体是有粘性的
C）在σ 内 ωn 的求和为零，而σ 内的流场可能有旋 D）σ 为复连通域 3．一封闭曲线 c，有 n 个强度为Γ的涡线穿过 c 所围的区域σ ，且每根涡线都与 c 所围的区
域正交，则绕曲线 c 的环量为（ ）。
A） Γ
B）n Γ
C） Γ σ
4.海姆霍兹第一定理和第三定理表明（
p0
=
1 2
ρ vθ 2
−
ρ vR 2
p − p0 = −ρvR2
（ r < R ） 有旋 （r > R ） 无旋
（r<R） （r=0）
其中 vR 为 r=R 时的速度
p
=
p0
−
1 2
ρ vθ 2
兰金涡：铅直圆柱形涡，顶部为自由液面。
压力分布：
（r > R ）
⎧ ⎪⎪
p
=
⎨
⎪ ⎪⎩
p
=
p0
−
ρω 2 2
4. 毕奥——沙伐尔定理
不可压缩流场中任意一条涡线，旋涡强度为Γ，其诱导速度场的计算公式：
∫ v = Γ sinθ ds
4π s r 2
式中：r 为空间点 p 到涡线的向径， θ 为 r 与 ds 的夹角，ds 为涡线的微分弧长。
对于任意一条直线涡： v
=
Γ 4π R
(cosθ1
−
cosθ2 )
对于无穷长直线涡： v = Γ 2π R
vA
=
Γ 4π R1
(cosα1
− cosα2 )
+
Γ 4π R2
(cosα3
−
cosα4 )
+
Γ 4π R3
(cosα5
−
cosα6 )
其中
α1
=0， α 2
=π
−
arctg
R1 R2
cosα2 =
− R2 R12 + R22
α3
=
arctg
R2 R1
cosα3 =
R2 R12 + R22
α4
=
π
14.不可压缩流体作平面均匀流动，
y D(0,1)
(1)流动均匀，大小为 U,计算沿路径 ABCD 的速度环量。 U
(2)若速度分布不是均匀的，而是
u = −x − y
v= y
A(0,0)
C(1,1)
x B(1,0)
计算沿路径 ABCD 的速度环量。
图 5-3
15.不可压缩平面涡量场，在半径为 R 的圆形域内，涡通量为 J,已知在半径为 r 处的流体速
r ≤ a 时，ωz = ω ，
r > a 时 ωz = 0 ，式中 a，ω为常数，求速度分布。
∫ 解：（1）当 r
≤
a 时 vr
=
vz
=
0 ，由 Γ
=
2
σ
wndσ
，有 vθ
⋅ 2π r1
=
2ω
⋅
π
r
2 1
所以 vθ = rω
（2）当 r>a 时， vz = vr = 0 同理 vθ ⋅ 2π r1 = 2ω ⋅ π a2
速度场与旋涡场的对比：
JG
速度场
V
GG
流线
V // dl
流线微分方程
dx = dy = dz vx vy vz
流管：流管的母线是流线
G JG 体积流量： dQ = V ⋅ dσ = Vn ⋅ dσ
二维不可压缩流动： QAB =ψ B −ψ A G
不可压缩流体连续性方程： ∇ ⋅V = 0
旋涡场 涡线
第五章：旋涡理论
一．内容小结：
旋涡运动是流体流动中的常见现象，将流场分为有旋流场和无旋流场有助于解决流体力 学问题。本章仅从运动学的角度讨论旋涡运动。 1．旋涡运动的几个基本概念
涡线：同流线定义相似，即同一瞬时涡线上每一流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切。 涡线微分方程：
dx = dy = dz ωx ωy ωz
v∫ ∫∫ 可由斯托克斯公式 c vs ds = 2 ωndσ 计算 σ
（2）沿一条开曲线 AB 的速度环量 对于无旋场：
∫ ∫ ∫ Γ =
B
A Vx dx + Vy dy + Vz dy =
B ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dy =
A ∂x
∂y
∂z
B dϕ
A
=
ϕB
− ϕA
对于有旋场：
B
∫ 直接由 Γ = A Vxdx + Vy dy + Vz dy 计算
v∫ ∫∫ 斯托克斯定理： c vs ds = 2 ωndσ σ
适用条件是单连通域（即闭曲线 c 内没有空洞，物体等），对于复连通域，挖去空洞，
物体等仍可变为单连通域来处理。
∫∫ 推论一：单连通域内， ωG 处处为零。则Γ=0。即 Γ = 2 ωndσ = 0 σ
但沿着某一闭曲线的环量Γ=0，而ωG 不一定为零。